非交换单群阶整除nₚ!/2的证明疑问：为何含于Aₙₚ？

嘿，咱们先顺着你已经有的思路往下走，核心就靠非交换单群的性质和置换的符号同态这两个点来突破卡壳的地方：

首先先明确几个关键前提：

• 你已经通过共轭作用把G嵌入到对称群Sₙₚ中，记这个嵌入同态为φ: G → Sₙₚ。因为G是非交换单群，φ只能是单同态——要是核非平凡，那核就是G的非正规子群，要么核是G本身（意味着所有G中元素共轭作用在Sylow p-子群上都是恒等，也就是Sylow p-子群是G的正规子群，这和单群矛盾），要么核是{e}，所以G≅φ(G)≤Sₙₚ，这一步你已经搞懂了。

接下来看对称群自带的符号同态：sgn: Sₙₚ → {±1}，它把偶置换映射到1，奇置换映射到-1。我们把这个同态和之前的φ复合，得到 sgn∘φ: G → {±1}。

现在分析这个复合同态的核：

• 因为G是非交换单群，它的正规子群只有自身和{e}，所以这个复合同态的核只能是这二者之一。
• 如果核是{e}，那 sgn∘φ就是单同态，但G是非交换单群，阶至少是60（比如A₅），而{±1}是2阶群，单同态要求G的阶整除2，这显然不可能——非交换单群不可能是2阶交换群，所以这个情况直接排除。
• 那剩下的唯一可能就是核为G本身，也就是说对所有g∈G，sgn(φ(g))=1，这意味着φ(G)里的每个置换都是偶置换，也就是φ(G)⊆Aₙₚ。

这样一来，G就同构于Aₙₚ的一个子群，自然|G|整除|Aₙₚ|=nₚ!/2，这就补上了你困惑的那一步。

最后补个小细节：为什么nₚ不可能等于1？如果nₚ=1，那Sylow p-子群P是G的正规子群，而G是非交换单群，所以P=G，但p-群的中心Z(P)≠1，且Z(P)⊴G，这就推出Z(P)=G，意味着G是交换群，和“非交换单群”的前提矛盾，所以nₚ≥2，也保证了Aₙₚ是Sₙₚ的指数2子群，这个讨论是有意义的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user85798