$\mathbb{Q}_p$的所有非分歧扩张有哪些？

我来给你梳理清楚这个逻辑链，一步一步拆解$\mathbb{Q}_p$的有限非分歧扩张和剩余域扩张的对应关系：

1. 基础结论：单位根生成的非分歧扩张
   对于任意与素数$p$互素的正整数$n$，添加$n$次本原单位根$\zeta_n$得到的扩张$\mathbb{Q}_p(\zeta_n)$是$\mathbb{Q}_p$的非分歧扩张。这里的核心前提是$n$与$p$互素，这是保证扩张非分歧的关键条件。

2. 局部域的核心对应定理
   对于离散赋值完备域（$\mathbb{Q}_p$就是典型的例子），它的有限非分歧扩张和自身剩余域的有限扩张之间存在严格的一一对应关系。这个定理把局部域的扩张问题转化为了更易处理的有限域扩张问题，是局部域理论里的基石之一。

3. $\mathbb{Q}_p$剩余域的扩张结构
   $\mathbb{Q}_p$的剩余域是有限域$\mathbb{F}_p$，而$\mathbb{F}p$的有限扩张结构非常规整：$\mathbb{F}p$的$r$次有限扩张唯一对应$\mathbb{F}{p^{r}$，并且这个扩张可以通过添加$p}r-1$次本原单位根得到，也就是$\mathbb{F}{p^r} = \mathbb{F}p(\zeta{p^r-1})$。

4. 最终的对应关系
   把前面的结论结合起来，$\mathbb{Q}p$的有限非分歧扩张就完全对应到$\mathbb{F}p$的有限扩张上：每一个$\mathbb{F}{p^{r}$都对应$\mathbb{Q}_p$的一个有限非分歧扩张$\mathbb{Q}_p(\zeta_{p}r-1})$——因为$p^{r-1$和$p$显然互素（$p}r \equiv 0 \mod p$，所以$p^r-1 \equiv -1 \mod p$），满足第一个结论的前提，而且这个扩张对应的剩余域恰好就是$\mathbb{F}{p^r}$，完美契合那个一一对应关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aaron Johnson