关于正合序列中包含映射与商映射的若干疑问

嘿，我来帮你一步步理清楚这几个正合序列里的核心疑问，保证讲得明明白白～

1. 为啥包含映射$U\rightarrow V$是单射？ #

其实这个和正合序列本身无关，是包含映射的定义本性决定的。

包含映射$\iota: U \to V$的作用非常直接：把每个$u \in U$直接对应到$V$里的同一个元素$u$（毕竟$U$是$V$的子空间，$u$本来就属于$V$）。

而单射的定义是：如果$\iota(u_1) = \iota(u_2)$，则必然有$u_1 = u_2$。你想啊，$\iota(u_1)$就是$u_1$，$\iota(u_2)$就是$u_2$，这俩相等可不就是$u_1 = u_2$吗？所以包含映射天然就是单射，没跑儿～

2. 为啥$\ker(V\rightarrow V/U)=\text{im}(U\rightarrow V)$？ #

这是正合序列中间位置的核心要求，咱们拆解成两部分看：

• 先看商映射$\pi: V \to V/U$的核：
  商映射的作用是把$V$里的元素$v$映射到等价类$[v] = v + U$。商空间$V/U$里的零元是$U$本身（因为$0 + U = U$），所以$\ker\pi$就是所有满足$\pi(v) = 0_{V/U}$的$v$，也就是$v + U = U$——这等价于$v \in U$（只有当$v$属于$U$时，$v$加$U$才等于$U$）。所以$\ker\pi = U$。
• 再看包含映射$\iota: U \to V$的像：
  包含映射把$U$里的所有元素都原封不动送到$V$里，所以它的像就是$U$在$V$中的全部元素，也就是$\text{im}\iota = U$。

两边都是$U$，自然就相等了，这就是正合序列“前一个映射的像等于后一个映射的核”的要求。

3. 为啥$\ker(V/U \rightarrow 0)=\text{im}(V\rightarrow V/U)$？ #

这个也很直观，咱们分别分析：

• 先看映射$\sigma: V/U \to 0$：
  这是个零映射——不管你给它$V/U$里的哪个元素，它都输出0向量。零映射的核是什么？是整个定义域！因为所有元素经过$\sigma$映射后都是0，所以$\ker\sigma = V/U$。
• 再看商映射$\pi: V \to V/U$的像：
  商映射把$V$里的每个$v$都对应到$[v] \in V/U$，而$V/U$里的每一个等价类都是某个$v$的像（比如等价类$[w]$就是$\pi(w)$），所以$\pi$的像就是整个$V/U$，也就是$\text{im}\pi = V/U$。

两边都是$V/U$，当然相等啦，这对应正合序列最后一个位置的正合条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user522841