基于k、j的给定边界条件，如何证明不等式$1 \le k \le j-1$？

咱们直接从给定的边界条件出发拆解，逻辑其实很清晰：

首先明确已知的所有约束条件：

• $1 \le j \le 2a-2b-1$
• $1 \le k \le a-b-1$
• $2k \le j$

要证明的结论可以拆成两部分分别验证：

1. 左边：$1 \le k$ #

这部分直接是给定的约束条件，不用额外推导，天然成立。

2. 右边：$k \le j-1$ #

这是需要重点推导的部分，咱们从已知的 $2k \le j$ 入手：
因为 $k$ 是满足 $1 \le k$ 的正整数，所以 $2k \ge 2$，结合 $2k \le j$ 可以推出 $j \ge 2$（如果$j=1$，$2k \le 1$和$k \ge 1$会矛盾，所以$j$的实际最小值是2）。

接下来看由 $2k \le j$ 推导出来的 $k \le \frac{j}{2}$（两边除以正数2，不等号方向不变）。现在只需要证明 $\frac{j}{2} \le j-1$ 对 $j \ge 2$ 成立：

解这个不等式：
$\frac{j}{2} \le j-1$
两边乘2（正数，不等号不变）：$j \le 2j - 2$
移项得：$0 \le j - 2$ → $j \ge 2$

而我们已经确定 $j \ge 2$，所以 $\frac{j}{2} \le j-1$ 成立。结合 $k \le \frac{j}{2}$，就能得到 $k \le j-1$。

最终结论 #

把两部分结论结合起来，就得到了 $1 \le k \le j-1$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MOP