曲线y=y(x)质心横坐标表达式的证明方法咨询

好问题！其实这个公式的推导核心是从质点系质心的定义出发，用微元法推广到连续曲线的情况，我给你一步步拆解：

1. 先明确前提 #

我们讨论的是均匀线密度的平面曲线（线密度$\rho$为常数，题目里没提密度是因为均匀情况下密度会被约掉）。如果是非均匀曲线，推导逻辑类似，只是要保留线密度项。

2. 从质点系质心入手 #

假设我们有$n$个质点组成的系统，每个质点质量为$m_i$，横坐标为$x_i$，那么系统质心的横坐标是：
$$X = \frac{\sum_{i=1}^n m_i x_i}{\sum_{i=1}^n m_i}$$
这个公式的本质是「加权平均」，每个质点的横坐标以自身质量为权重。

3. 用微元法推广到连续曲线 #

把曲线$y=y(x)$（$a\leq x\leq b$）分割成无数个极小的弧段：

• 每个微弧段的弧长是$ds$，对应的质量$dm = \rho \cdot ds$（$\rho$是线密度，均匀时为常数）；
• 我们可以把这个微弧段近似看成一个质点，它的横坐标就取弧段上某点的$x$值；

当分割无限细密时，求和就变成了积分，代入质点系的质心公式：
$$X = \frac{\int dm \cdot x}{\int dm}$$

4. 代入弧长微元的表达式 #

你已经知道弧长的积分是$\int_a^b \sqrt{1+y'^2} dx$，而弧长微元$ds = \sqrt{1+y'^2} dx$，把它代入上面的积分：
$$X = \frac{\int_a^b x \cdot \rho \cdot \sqrt{1+y'^2} dx}{\int_a^b \rho \cdot \sqrt{1+y'^2} dx}$$
因为$\rho$是常数，可以从分子分母中同时约掉，最终就得到：
$$X = \frac{\int_a^b x\sqrt{1+y'^{2} dx}{\int_a}b\sqrt{1+y'^2}\ dx}$$

补充说明 #

如果曲线的线密度不是均匀的（比如$\rho$是关于$x$的函数$\rho(x)$），那质心横坐标的公式会变成：
$$X = \frac{\int_a^b x \cdot \rho(x) \cdot \sqrt{1+y'^2} dx}{\int_a^b \rho(x) \cdot \sqrt{1+y'^2} dx}$$
题目里的情况是均匀线密度的特例，所以$\rho$被约掉了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Wild Feather