R⁴中方程组解空间的基求解（解法正确性核查）

首先，咱们得明确：齐次线性方程组的解空间维度 = 变量总数 - 系数矩阵的秩。这里是$\mathbb{R}^4$中的两个线性无关的方程（你可以验证，这两个方程没法互相线性表示），所以系数矩阵的秩为2，解空间维度应该是$4-2=2$——也就是说基应该包含两个线性无关的向量，而你只找到了一个，这就是核心错误。

咱们一步步重新推导：

1. 先写出原方程组：
   • $2x_1 - x_2 + x_3 - 2x_4 = 0$
   • $2x_1 + x_3 = 0$
2. 用第一个方程减第二个方程，得到：$-x_2 - 2x_4 = 0$，即 $x_2 = -2x_4$，这一步是对的。
3. 从第二个方程可以直接推出：$x_3 = -2x_1$，这一步你之前完全忽略了！
4. 现在我们有两个自由变量（因为只有两个约束方程），可以选$x_1$和$x_4$作为自由变量：
   • 令$x_1 = t$（$t \in \mathbb{R}$），$x_4 = k$（$k \in \mathbb{R}$）
   • 代入约束关系得到：$x_3 = -2t$，$x_2 = -2k$
5. 所以所有解可以表示为线性组合：
   $$(x_1, x_2, x_3, x_4) = t(1, 0, -2, 0) + k(0, -2, 0, 1)$$

向量$(1,0,-2,0)$和$(0,-2,0,1)$线性无关，它们共同构成了解空间的一组基。

总结来说：你之前只考虑了$x_4$作为自由变量，漏掉了$x_1$这个自由变量，导致只找到一个基向量，没有完整覆盖整个解空间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Justtryingtodomath