二元变量极限存在性：求使指定极限存在的最大k值

我来帮你梳理这个问题的思路，你目前的结论存在计算偏差，我们一步步严谨推导：

问题回顾 #

我们需要找到最大的数$k$，使得对所有$p < k$，极限
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{15}y{23}}{(x^2 +y²⁾p}$$
都存在。

极坐标转换法分析极限 #

处理二元函数在原点的极限，极坐标转换是最直观的方法：令$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，当$(x,y)\to(0,0)$时，等价于$r\to0^+$（$\theta$可以取任意值）。

把极坐标代入原式：

\frac{(r\cos\theta)^{15}(r\sin\theta)^{23}}{(r^2)^p} = \frac{r^{15+23}\cos^{15}\theta\sin^{23}\theta}{r^{2p}} = r^{38 - 2p}\cos^{15}\theta\sin^{23}\theta

极限存在的核心条件 #

极限存在且有限的关键是：当$r\to0^+$时，表达式的结果不依赖于$\theta$的取值，且为有限值：

• 当$38 - 2p > 0$，也就是$p < 19$时，$r^{{38-2p}$会随着$r\to0}+$趋向于0，而$\cos^{{15}\theta\sin}{23}\theta$是有界的（绝对值不超过1），因此整个式子的极限为0，且和$\theta$无关，极限存在。
• 当$38 - 2p = 0$（即$p=19$）时，原式变为$\cos^{{15}\theta\sin}{23}\theta$，这个值会随$\theta$变化（比如$\theta=\frac{\pi}{2}$时结果为0，$\theta=\frac{\pi}{4}$时结果为$2^{-19}$），因此极限不存在。
• 当$38 - 2p < 0$（即$p>19$）时，$r^{{38-2p}$会随着$r\to0}+$趋向于无穷大，在$\cos^{{15}\theta\sin}{23}\theta\neq0$的路径上，整个式子趋向无穷大，极限不存在。

结论 #

最大的$k$值是19：所有$p<19$时极限都存在，而$p\geq19$时极限不存在。你之前得到的7.5应该是计算分子总次数时出现了错误，15+23的总次数是38，对应分母的次数$2p$需要小于38，即$p<19$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pame