已知秩为2的k×3矩阵A与B满足AB=0，求B中a,b,c,d的值

问题回顾 #

已知A是秩$\text{rank}(A)=2$的$k×3$矩阵，矩阵B为：
$$B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & a & b \ 3 & c & d \end{pmatrix}$$
且满足$AB=0$，需要求解a、b、c、d的值。

你的思路完全正确，接着往下推就行！ #

你已经意识到：由$AB=0$可推出B的每一列都是齐次方程组$Ax=0$的解，也就是$b_1=\begin{pmatrix}1\2\3\end{pmatrix}$、$b_2=\begin{pmatrix}2\a\c\end{pmatrix}$、$b_3=\begin{pmatrix}3\b\d\end{pmatrix}$都属于A的零空间$\text{Nul}(A)$。这一步抓准了核心，接下来用秩-零化度定理就能轻松解决：

对于$k×3$矩阵A，秩-零化度定理告诉我们：
$$\text{rank}(A) + \dim(\text{Nul}(A)) = 3$$
已知$\text{rank}(A)=2$，代入得$\dim(\text{Nul}(A))=3-2=1$——这意味着A的零空间是一维子空间，也就是说，零空间里的所有向量都必须是某个非零向量的线性倍数（换句话说，零空间里任意两个向量都线性相关）。

而$b_1$显然是非零向量，所以$b_2$和$b_3$都必须是$b_1$的 scalar 倍数：

1. 对于$b_2$，存在常数$\lambda$使得$\begin{pmatrix}2\a\c\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}1\2\3\end{pmatrix}$：
   • 由第一个分量$2=\lambda×1$，得$\lambda=2$
   • 代入得$a=2×2=4$，$c=2×3=6$
2. 对于$b_3$，存在常数$\mu$使得$\begin{pmatrix}3\b\d\end{pmatrix} = \mu \begin{pmatrix}1\2\3\end{pmatrix}$：
   • 由第一个分量$3=\mu×1$，得$\mu=3$
   • 代入得$b=3×2=6$，$d=3×3=9$

验证一下 #

此时B的三列分别是$b_1$、$2b_1$、$3b_1$，它们张成的列空间是一维的，完全包含在A的一维零空间里，自然满足$AB=0$，完全符合题目条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者0rka