将平方约束用于拉格朗日乘数法时会出现什么问题？

咱们来看这个经典的约束优化问题：要在约束条件$g(x)=0$下最小化目标函数$f(x)$。

标准拉格朗日乘数法思路 #

常规的解法是拉格朗日乘数法，先构造拉格朗日函数：
$$\mathcal L = f(x) -\lambda g(x)$$
对$x$求导后得到一阶最优性条件：
$$f'(x) - \lambda g'(x) = 0.$$

替换等价约束后的“奇怪”推导 #

有人注意到，$g(x)=0$和$g^{2(x)=0$是完全等价的约束——毕竟只有当$g(x)=0$时，它的平方才会为0。那是不是可以用$g}2(x)=0$作为新的约束来构造拉格朗日函数呢？于是写出：
$$\mathcal L = f(x) -\lambda g^2(x)$$
对$x$求导后得到：
$$f'(x) - 2\lambda g(x) g'(x)= 0.$$

这时候代入约束条件$g(x)=0$，上式就直接简化成了：
$$f'(x)=0$$
这和标准方法得到的结果明显不同，这中间的问题到底出在哪？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者amoeba