无放回随机抽样下特征样本的概率及占比问题的统计方法问询

先明确几个关键参数：总记录数 ( N = 4000 ) 万，含特定词汇的目标记录数 ( K = X )，无放回抽取的样本量 ( n = 2500 ) 万。

问题1：抽取样本包含部分或全部X条目标记录的概率 #

这个概率可以用补集思想简化计算——先算出“样本里完全没有任何目标记录”的概率，再用1减去这个值就是我们要的结果，毕竟“包含部分或全部”的反面就是“一条都没抽到”。

无放回抽样的场景下，这类问题属于超几何分布的应用范畴，具体公式如下：
[
P(\text{包含至少1条目标记录}) = 1 - \frac{\binom{N-K}{n}}{\binom{N}{n}}
]
其中：

• ( \binom{a}{b} ) 表示组合数，即从 ( a ) 个元素中无放回选取 ( b ) 个的所有可能方式数，计算逻辑为 ( \binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!} )
• ( \binom{N-K}{n} ) 是从非目标记录（共 ( N-K ) 条）中抽取 ( n ) 条的组合数
• ( \binom{N}{n} ) 是从所有记录中抽取 ( n ) 条的总组合数

举个直观的例子：如果X=1000，代入公式就能算出具体概率；当X本身比较大时，这个概率会非常接近1——毕竟我们抽了超过一半的样本量，很难完全避开所有目标记录。

问题2：X条目标记录在样本中的数量与占比 #

期望数量 #

无放回抽样中，每条目标记录被抽到的概率是 ( \frac{n}{N} )（也就是总样本的占比 ( \frac{2500万}{4000万} = 62.5% )）。根据线性期望的性质，不管抽样是否放回，目标记录在样本中的期望数量都是：
[
E[\text{目标记录数}] = X \times \frac{n}{N} = X \times 0.625
]

期望占比 #

样本中目标记录的期望占比就是总抽样比例，也就是 ( 62.5% )。这是因为无放回抽样不会改变总体的比例期望——虽然实际抽出来的数量是随机波动的，但长期重复抽样的话，样本占比会趋近于总体的真实占比。

如果需要更细致地描述这个数量的分布，它严格服从超几何分布，方差为 ( X \times \frac{n}{N} \times \left(1 - \frac{n}{N}\right) \times \frac{N-n}{N-1} )，不过大部分业务场景下，知道期望数值就足够指导决策了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mah