正整数ab整除a+b的证明问询：求证a=b且为1或2

第一步：证明a=b #

我们从核心条件入手，已知正整数a,b满足 (ab \mid a+b)，这等价于存在正整数k，使得：
[a + b = k \cdot ab]
两边同时除以ab（a,b为正整数，无除零问题），变形得：
[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = k]
因为a,b是正整数，(\frac{1}{a})和(\frac{1}{b})都不大于1，它们的和k是正整数，所以k只能是1或2。

假设 (a \neq b)，不妨设 (a < b)：

• 若a≥3，那么(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{a} ≤ \frac{2}{3} < 1)，和k是正整数矛盾；
• 若a=1，代入得(1 + \frac{1}{b} = k)，要使k为正整数，(\frac{1}{b})必须是整数，只有b=1，和a<b的假设矛盾；
• 若a=2，代入得(\frac{1}{2} + \frac{1}{b} = k)，因为b>a≥3，(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} < 1)，同样无法得到正整数k，矛盾。

综上，假设a≠b不成立，因此a=b。

第二步：证明a只能是1或2 #

既然a=b，代入原条件得：
[a^2 \mid 2a]
两边除以正整数a，简化为：
[a \mid 2]
正整数中能整除2的只有1和2，验证一下：

• 当a=b=1时，1×1=1，1+1=2，1|2，成立；
• 当a=b=2时，2×2=4，2+2=4，4|4，成立。

关于你之前思路的误区 #

你提到的“若n|a且n|b，则对任意x,y∈ℤ，n|ax+by”这个定理，逻辑方向是n先整除a和b，才会整除它们的线性组合，但反过来不成立：n整除a+b，不代表n能整除a或b。比如6|4+2，但6既不整除4也不整除2。你试图推导ab整除a和b的方向是错误的，这也是思路卡壳的核心原因。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Xiang