如何求解极限$ \lim \limits_{n \to \infty}(\dfrac{1}{n+1}+...+\dfrac{1}{n+n})$？

嘿，我来给你捋捋这个题的解法～你之前只注意到单个$\frac{1}{n+k}$（k从1到n）当$n \to \infty$时趋近于0，但这是n个趋近于0的项相加，整体的极限不能直接等于0，得用定积分的定义来转化，具体步骤如下：

• 第一步：先对原式做变形，提取出$\frac{1}{n}$，把每一项转化为统一的形式：
  $$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{k}{n}} \cdot \frac{1}{n}$$
• 第二步：回忆定积分的核心定义：对于区间$[a,b]$上的连续函数$f(x)$，有
  $$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n f\left(a + k\cdot \frac{b-a}{n}\right) \cdot \frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x)dx$$
• 第三步：对比变形后的式子和定积分定义：
  • $\frac{1}{n}$对应定义里的$\frac{b-a}{n}$，说明区间长度是1；
  • 当k从1到n时，$\frac{k}{n}$的取值从$\frac{1}{n}$（n→∞时趋近于0）到$\frac{n}{n}=1$，所以积分区间是$[0,1]$；
  • 被积函数就是$f(x)=\frac{1}{1+x}$
• 第四步：计算这个定积分：
  $$\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx = \ln(1+x)\bigg|_0^1 = \ln2 - \ln1 = \ln2$$
  也就是选项里的$\log_e2$，对应选项(B)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Damandeep