嘿，我之前在维基百科上查转动惯量相关内容时，发现平台里列了四面体、长方体这些常见形状的转动惯量值，却没收录三棱柱或者三角形薄板的。于是我试着自己推导均匀密度为$\rho$的等边三角形薄板的转动惯量，但现在网上找不到任何来源能验证或否定我的结果，所以想请大家帮忙检查推导过程里有没有错误。

问题：求均匀密度为$\rho$的等边三角形薄板的转动惯量

（你可以把具体的推导过程贴出来，我会帮你仔细核对每一步的积分设定、变量替换以及计算细节～）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者orchid