求方程$65x^2-57y^2=8 \cdot 61$的解，疑无解但无法证明
首先，你已经完成的推导完全正确：
- 将原方程变形为 $57(x+y)(x-y) = 8(61 - x^2)$，由此推出 $57 \mid x^2 - 4$（因为 $61 \equiv 4 \pmod{57}$），以及 $x,y$ 奇偶性相同。
接下来我们通过细分奇偶情况，结合整数的整除性来完成无解的证明：
情况1：$x,y$ 均为偶数
设 $x=2a$，$y=2b$，代入原方程得：
$$65(4a^2) - 57(4b^2) = 8 \cdot 61$$
两边除以4化简：
$$65a^2 - 57b^2 = 2 \cdot 61 = 122$$
现在看模4的结果：
- $65 \equiv 1 \pmod{4}$，$57 \equiv 1 \pmod{4}$，$122 \equiv 2 \pmod{4}$
- 方程变为 $a^2 - b^2 \equiv 2 \pmod{4}$
但 $a,b$ 必然同奇偶（因为 $x,y$ 同偶），所以 $(a-b)(a+b)$ 是两个偶数的乘积，即 $\equiv 0 \pmod{4}$，与右边的 $2 \pmod{4}$ 矛盾。因此**$x,y$ 不能同为偶数**。
情况2：$x,y$ 均为奇数
此时 $x+y$ 和 $x-y$ 都是偶数，设 $x+y=2u$，$x-y=2v$，其中 $u$ 和 $v$ 一奇一偶（因为 $x=(u+v)$、$y=(u-v)$ 都是奇数，所以 $u+v$ 和 $u-v$ 均为奇数，说明 $u,v$ 奇偶性相反）。
代入变形后的方程：
$$57(2u)(2v) = 8(61 - x^2)$$
化简得：
$$57uv = 2(61 - (u+v)^2)$$
关键分析：整除性要求
右边 $2(61 - (u+v)^2)$ 中，$61$ 是奇数，$(u+v)$ 是奇数（$u$ 奇 $v$ 偶，或反之），所以 $61 - (u+v)^2$ 是偶数，右边整体是 $2 \times$ 偶数 $= 4$ 的倍数。
左边 $57uv$ 必须是4的倍数，而 $57$ 是奇数，因此 $uv$ 必须是4的倍数。结合 $u,v$ 一奇一偶的性质，其中必有一个是4的倍数（奇数×偶数=4的倍数 → 偶数项必为4的倍数）。
子情况2.1：$u$ 是4的倍数，$v$ 是奇数
设 $u=4k$，$v=2m+1$（$k,m$ 为整数），代入化简后的方程：
$$57(4k)(2m+1) = 2(61 - (4k + 2m + 1)^2)$$
进一步化简：
$$114k(2m+1) = 61 - (4k + 2m + 1)^2$$
观察两边的大小：
- 当 $k \neq 0$ 时，左边绝对值最小为 $114 \times 1 \times 1 = 114$，远大于右边的最大值（当 $4k+2m+1=0$ 时，右边=61）；
- 当 $k=0$ 时，方程变为 $0 = 61 - (2m+1)^2$，即 $(2m+1)^2=61$，但61不是平方数，无解。
子情况2.2：$v$ 是4的倍数，$u$ 是奇数
设 $v=4k$，$u=2m+1$，代入后推导过程与子情况2.1完全一致：
- 当 $k \neq 0$ 时，左边绝对值远大于右边；
- 当 $k=0$ 时，$(2m+1)^2=61$，无整数解。
综上，$x,y$ 同为奇数的情况也无解。
结论
两种奇偶情况均无解，因此原丢番图方程 $65x^2 - 57y^2 = 8 \cdot 61$ 没有整数解。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Maestro13
