参数积分收敛性问询：给定(α,β)∈ℝ+²的广义积分是否收敛？

嘿，咱们一步步来拆解这个问题，先给结论，再聊细节：这个广义积分是收敛的，而且你提到的那两个等价结论，确实可以用来判定它的收敛性，不过得把逻辑理清楚~

一、分端点分析收敛性 #

因为广义积分的敛散性主要看两个端点的行为：$x \to 0^+$和$x \to +\infty$，中间区间$[\epsilon, N]$（$\epsilon>0$，$N>0$）上被积函数连续，积分肯定存在，所以重点看两端。

1. $x \to +\infty$时的收敛性 #

当$x \to +\infty$时，被积函数和$x^{\beta-\alpha-1} \exp(-\beta x)$等价。这里关键是$\beta>0$，$\exp(-\beta x)$是指数衰减函数——它的衰减速度比任何多项式函数（不管是增长还是衰减的）都快。举个例子，不管$\beta-\alpha-1$是正还是负，哪怕是$x^{1000}\exp(-\beta x)$，当$x$趋向无穷时，指数项会把多项式的增长完全压下去，对应的积分$\int_{N}^{+\infty} x^k \exp(-\beta x)dx$对任何实数$k$都是收敛的。所以这部分积分肯定收敛。

2. $x \to 0^+$时的收敛性 #

当$x \to 0^{+$时，被积函数和$x}{\beta-\alpha-1} \exp(-\frac{\alpha}{x})$等价。这里$\alpha>0$，当$x \to 0^{+$时，$\frac{\alpha}{x}$趋向$+\infty$，$\exp(-\frac{\alpha}{x})$是**超指数衰减**——比任何$x}p$（$p$为实数）的衰减速度都快。哪怕$x^{\beta-\alpha-1}$在$x \to 0^+$时趋向无穷大（比如$\beta-\alpha-1 < 0$），$\exp(-\frac{\alpha}{x})$的衰减速度也能把它“拉回来”。

咱们做个变量替换验证一下：令$t = \frac{\alpha}{x}$，则$x = \frac{\alpha}{t}$，$dx = -\frac{\alpha}{t^2}dt$，当$x \to 0^+$时$t \to +\infty$，$x=\epsilon$时$t=\alpha/\epsilon$。原积分在$(0, \epsilon)$的部分就变成：
$$
\int_{+\infty}^{\alpha/\epsilon} \left(\frac{\alpha}{t}\right)^{\beta-\alpha-1} \exp(-t) \cdot \left(-\frac{\alpha}{t^2}\right)dt = \int_{\alpha/\epsilon}^{+\infty} \alpha^{\beta-\alpha} t^{\alpha-\beta-1} \exp(-t)dt
$$
这时候被积函数是$t^{\alpha-\beta-1}\exp(-t)$，和$x \to +\infty$的情况一样，指数衰减主导，积分必然收敛。所以$x \to 0^+$的部分也没问题。

二、能不能用给定的等价结论直接判定？ #

答案是可以，但要基于正函数的广义积分比较判别法的等价形式：

对于正函数$f(x)$和$g(x)$，如果$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = c > 0$（$a$可以是$0^+$或$+\infty$），那么$\int_{a附近} f(x)dx$和$\int_{a附近} g(x)dx$同敛散。

• 针对$x \to +\infty$：你已经知道被积函数和$x^{\beta-\alpha-1}\exp(-\beta x)$等价，而后者的积分收敛，所以原积分在$x \to +\infty$的部分收敛；
• 针对$x \to 0^{+$：被积函数和$x}{\beta-\alpha-1}\exp(-\alpha/x)$等价，我们刚才已经证明后者的积分收敛，所以原积分在$x \to 0^+$的部分也收敛。

这里不用担心$\exp(-\alpha/x)$不是多项式型的函数——等价判别法的核心是两个函数的比值趋向正的常数，只要这个条件满足，不管$g(x)$是什么类型的正函数，只要它的敛散性已知，就能判定$f(x)$的积分敛散性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jeremy