有限和的幂的通用公式（分配律）及求和式展开公式问询

嘿，咱们来逐个解决你的这两个问题：

这个公式其实就是多项式定理（Multinomial Theorem），它本质上是乘法分配律反复应用后的结果，也是二项式定理的通用推广。

对于正整数 $p$ 和有限项的和 $\left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^p$，展开公式为：
$$
\left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^p = \sum_{\substack{k_1 + k_2 + \dots + k_n = p \ k_1,k_2,\dots,k_n \geq 0}} \frac{p!}{k_1!k_2!\dots k_n!} a_1^{k_1}a_2{k_2}\dots a_n^{k_n}
$$

简单解释下：把 $p$ 个 $\sum_{i=1}^n a_i$ 相乘，每次从每个求和式里选一项 $a_i$ 相乘，最后把所有可能的组合加起来。公式里的系数 $\frac{p!}{k_1!k_2!\dots k_n!}$ 是多项式系数，代表了选出 $k_1$ 个 $a_1$、$k_2$ 个 $a_2$……$k_n$ 个 $a_n$ 的不同组合方式数量。当 $n=2$ 时，这就退化成咱们熟悉的二项式定理啦。

首先明确：这个展开式的代数结构和不带绝对值的情况完全一致——绝对值只是让每个 $|A_i|$ 成为非负实数，但不影响乘法分配律的应用逻辑。

套用多项式定理，$\left( \sum_{i=1}^n |A_i| \right)^p$ 的展开式为：
$$
\left( \sum_{i=1}^n |A_i| \right)^p = \sum_{\substack{k_1 + k_2 + \dots + k_n = p \ k_1,k_2,\dots,k_n \geq 0}} \frac{p!}{k_1!k_2!\dots k_n!} |A_1|^{k_1}|A_2|{k_2}\dots |A_n|^{k_n}
$$

你提到的“包含大量混合幂次项”其实是正常的，但项数并不是 $n \cdot p$，而是组合数 $\binom{p + n - 1}{n - 1}$——这是把 $p$ 个“选择名额”分配给 $n$ 个 $|A_i|$ 的非负整数解数量，比 $n \cdot p$ 要合理得多（比如 $n=3, p=2$ 时，项数是 $\binom{2+3-1}{3-1}=6$，和 $n \cdot p$ 相等；但 $p=3, n=3$ 时，项数是10，比 $3 \times 3=9$ 略多）。

至于推导，你说的“反复应用分配律”完全可行：比如先算 $p=2$ 的情况，$\left( \sum |A_i| \right)^2 = \sum |A_i|^2 + 2\sum_{1\leq i<j\leq n} |A_i||A_j|$；再算 $p=3$，就是 $\sum |A_i|^3 + 3\sum_{i\neq j} |A_i|^2|A_j| + 6\sum_{i<j<k} |A_i||A_j||A_k|$，每一步都是把当前的和乘上 $\sum |A_i|$，再用分配律拆分项，最后合并同类项。

关于搜索关键词，直接搜“多项式定理 绝对值和的幂”或者英文的“multinomial theorem for sums of absolute values”就可以，核心还是多项式定理——因为绝对值不改变展开的代数规则，只是给每个因子加了非负约束而已。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A. B. Marnie