如何求使方程x²-abx+a+b的根为整数的所有自然数a、b

你已经写出了求根公式，接下来的核心思路是：因为根是整数，所以判别式必须是非负的完全平方数，咱们一步步拆解这个问题：

步骤1：定义判别式并转化为平方差形式 #

设方程的判别式为$D$，则：
$$D = (ab)^2 - 4(a + b)$$
由于根是整数，$D$必须是某个自然数$k$的平方（$k \geq 0$），即：
$$(ab)^2 - k^2 = 4(a + b)$$
利用平方差公式因式分解左边：
$$(ab - k)(ab + k) = 4(a + b)$$

步骤2：分析因式的性质 #

注意到$ab + k > ab - k$，且两者的和为$2ab$（偶数），因此**$ab - k$和$ab + k$都是正偶数**（因为它们的乘积是正的，且同奇偶）。我们设：
$$ab - k = 2m, \quad ab + k = 2n$$
其中$m,n$是正整数，且$n \geq m$（当$k=0$时$m=n$）。代入上面的等式可得：

1. 两式相加：$2ab = 2(m + n) \implies ab = m + n$
2. 两式相乘：$4mn = 4(a + b) \implies mn = a + b$

现在我们得到了两个关键关系式：
$$\begin{cases}
ab = m + n \
mn = a + b
\end{cases}$$

步骤3：枚举正整数m,n的可能值 #

因为$a,b$是自然数，所以$ab = m + n$，$a + b = mn$，我们可以通过枚举较小的$m$值来找到所有可能的解：

情况1：$m = 1$ #

此时$ab = 1 + n$，$a + b = n$，将$b = n - a$代入$ab = 1 + n$得：
$$a(n - a) = 1 + n \implies a^2 - na + (n + 1) = 0$$
这个关于$a$的二次方程的判别式必须是完全平方数：
$$\Delta_a = n^2 - 4(n + 1) = (n-2)^2 - 8$$
令$\Delta_a = k^{2$，则$(n-2)}2 - k^2 = 8$，因式分解得$(n-2 -k)(n-2 +k)=8$。由于因子同奇偶，唯一有效的因子对是$(2,4)$，解得$n=5$。
代入得$a^2 -5a +6=0$，根为$a=2$或$a=3$，对应$b=3$或$b=2$，即解$(2,3),(3,2)$。

情况2：$m = 2$ #

此时$ab = 2 + n$，$a + b = 2n$，将$b=2n -a$代入得：
$$a(2n -a) = 2 + n \implies a^2 -2na + (n + 2) = 0$$
判别式$\Delta_a = 4n^2 -4(n+2) = 4[(n-2)(n+1)]$，需为完全平方数，即$(n-2)(n+1)$是平方数。
由于$\gcd(n-2,n+1)=\gcd(n-2,3)$，分两种子情况：

• 若$\gcd=1$，则$n-2$和$n+1$都是平方数，解得$n=3$（唯一解）。
  代入得$a^2 -6a +5=0$，根为$a=1$或$a=5$，对应$b=5$或$b=1$，即解$(1,5),(5,1)$。

情况3：$m = n$（对应判别式$D=0$的情况） #

此时$ab = 2m$，$a + b = m^{2$，若$a=b$，则$a}2=2m$，$2a=m^{2$，联立得$a}2=2*(2a)^{{1/2}$，解得$a=2$，即解$(2,2)$。验证方程：$x}2-4x+4=(x-2)^2=0$，根为整数，正确。

情况4：$m \geq 3$ #

当$m \geq 3$时，$n > m \geq 3$，则$a + b = mn \geq 3*4=12$，而$ab = m + n \leq n + n=2n < 3n \leq mn =a + b$，即$ab < a + b$。仅当其中一个数为1时可能成立，但代入后会发现无自然数解，因此无需考虑。

步骤4：验证所有解 #

最后我们把所有解代入原方程验证：

• $(1,5)$：方程$x^2-5x+6=0$，根为2和3，整数；
• $(5,1)$：同上，根为2和3；
• $(2,3)$：方程$x^2-6x+5=0$，根为1和5，整数；
• $(3,2)$：同上，根为1和5；
• $(2,2)$：方程$x^2-4x+4=0$，根为2，整数。

所有解均满足条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者G. Amber