证明态射φ:𝔸¹→V的满射性并描述对应k-代数同态φ̃:k[V]→k[𝔸¹]

问题背景 #

设$V=\mathcal{Z}(xz-y^2, yz-x^3, z^2-x2y) \subseteq \mathbb{A}^3$，我们需要完成两个核心任务：

1. 证明由$\varphi(t)=(t^3,t4,t^5)$定义的态射$\varphi: \mathbb{A}^1 \to V$是满态射（提示：若$(x,y,z)\neq(0,0,0)$，令$t=y/x$）
2. 描述对应的$k$-代数同态$\tilde{\varphi}: k[V] \to k[\mathbb{A}^1]$

一、满态射$\varphi$的证明（已完成） #

我已经梳理清楚了满射性的完整逻辑，具体过程如下：

1. 先验证$\varphi$的像包含于$V$
   把$\varphi(t)=(t^3,t4,t^5)$代入$V$的定义多项式，逐个验证：

   • $xz - y^2 = t^3 \cdot t^5 - (t⁴⁾2 = t^8 - t^8 = 0$
   • $yz - x^3 = t^4 \cdot t^5 - (t³⁾3 = t^9 - t^9 = 0$
   • $z^2 - x^2y = (t⁵⁾2 - (t³⁾2 \cdot t^4 = t^{10} - t^{10} = 0$
     显然三个多项式都在$\varphi(t)$处取值为0，所以$\varphi(\mathbb{A}^1) \subseteq V$。

2. 证明$\varphi$是满射（即$\varphi(\mathbb{A}^1)=V$）

   • 原点情况：取$t=0$，则$\varphi(0)=(0,0,0)$，直接覆盖$V$中的原点。
   • 非原点情况：任取$(x,y,z)\in V$且$(x,y,z)\neq(0,0,0)$。首先断言$x\neq0$：若$x=0$，代入第一个方程得$0 - y^2=0\Rightarrow y=0$，再代入第三个方程得$z^2 -0=0\Rightarrow z=0$，这与点非原点矛盾，故$x\neq0$。
     按照提示令$t=y/x$，推导如下：
   • 由$t=y/x$得$y=tx$；
   • 代入第一个方程$xz=y^{2$，两边除以$x$（$x\neq0$）得$z=t}2x$；
   • 将$y=tx$、$z=t^{2x$代入第二个方程$yz=x}3$：$tx \cdot t^2x -x^3 = t^3x2 -x^3 = x^2(t3 -x)=0$，因$x\neq0$，故$x=t^3$；
   • 进而得$y=tx=t\cdot t^3=t4$，$z=t^2x=t2\cdot t^3=t5$，即$(x,y,z)=\varphi(t)$。
     所有非原点的点都被$\varphi$覆盖，结合原点情况，$\varphi$是满射，因此是满态射（仿射簇间的满射态射等价于像为整个目标簇）。

二、对应的$k$-代数同态$\tilde{\varphi}$的描述 #

对于仿射簇之间的态射，对应的代数同态是拉回映射，即对任意$f\in k[V]$，$\tilde{\varphi}(f)=f\circ\varphi$。具体细节如下：

1. 代数结构回顾

   • $k[V]$是多项式环$k[x,y,z]$模掉$V$的定义理想$I(V)=\langle xz-y^2, yz-x^3, z^2-x2y \rangle$，即$k[V]=k[x,y,z]/I(V)$，其中$\overline{x}=x+I(V)$、$\overline{y}=y+I(V)$、$\overline{z}=z+I(V)$是$k[V]$的生成元。
   • $k[\mathbb{A}^1]$是一元多项式环$k[t]$。

2. 拉回映射的具体形式
   对于$k[V]$中的任意元素$\overline{f}=f+I(V)$，$\tilde{\varphi}(\overline{f})=f(\varphi(t))=f(t^3,t4,t^5)$。针对生成元：

   • $\tilde{\varphi}(\overline{x})=x(\varphi(t))=t^3$
   • $\tilde{\varphi}(\overline{y})=y(\varphi(t))=t^4$
   • $\tilde{\varphi}(\overline{z})=z(\varphi(t))=t^5$

3. 验证同态的良定义性
   若$f\in I(V)$，则$f(x,y,z)$是$I(V)$中生成元的线性组合，而我们已经验证$\varphi(t)$满足所有生成元的方程，故$f(t^3,t4,t^5)=0$，即$\tilde{\varphi}(\overline{f})=0$，符合商代数同态的要求，因此$\tilde{\varphi}$是良定义的$k$-代数同态。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MathStudent1324