基于特征向量由旋转矩阵推导四元数及转换实例

我来一步步帮你把这个绕X轴负45度的旋转矩阵转换成四元数，分两种常见场景来讲：

首先明确我们的旋转矩阵是：
$$R:=R_{X,-\frac{\pi}{4}} = \pmatrix{1 & 0 & 0\ 0 & \cos{-\frac{\pi}{4}} & -\sin{-\frac{\pi}{4}} \ 0 & \sin{-\frac{\pi}{4}} & ;;;\cos{-\frac{\pi}{4}}}$$
因为我们清楚知道这是绕X轴旋转$-\frac{\pi}{4}$（即顺时针转45度），所以直接用四元数的标准构造公式就可以快速得到结果：
四元数的一般形式为 $q = (\cos(\frac{\alpha}{2}), \sin(\frac{\alpha}{2}) \cdot \vec{u})$，其中：

• $\alpha$ 是旋转角度
• $\vec{u}$ 是旋转轴对应的单位向量

代入参数：$\alpha = -\frac{\pi}{4}$，$\vec{u} = \pmatrix{1\0\0}$（X轴单位向量），计算后得到：
$$q=(\cos{\frac{-\frac{\pi}{4}}{2}}, \sin{\frac{-\frac{\pi}{4}}{2}} \cdot \pmatrix{1\0\0} ) = \cos{\frac{\pi}{8}} - \sin{\frac{\pi}{8}}i $$
（注：这里四元数的虚部只有i分量，因为旋转轴是X轴，j和k分量对应的系数为0）

如果拿到一个旋转矩阵，但不知道它对应的旋转轴和角度，就需要用通用步骤推导：

步骤1：通过迹计算旋转角 #

旋转矩阵的**迹（trace）**和旋转角$\alpha$有固定关系：
$$1 + 2\cos\alpha = \text{trace}(R)$$
先计算给定矩阵的迹：$\text{trace}(R) = 1 + \cos(-\frac{\pi}{4}) + \cos(-\frac{\pi}{4}) = 1 + 2\cos(-\frac{\pi}{4})$
代入公式可得：$1 + 2\cos\alpha = 1 + 2\cos(-\frac{\pi}{4})$，因此$\alpha = -\frac{\pi}{4}$（也可取等价的$2\pi - \frac{\pi}{4}$，通常取最小的旋转角度即可）

步骤2：通过特征向量确定旋转轴 #

旋转轴对应的是旋转矩阵中特征值为1的特征向量，我们需要解方程 $(R - I)\vec{v} = 0$（$I$为单位矩阵）。
对这个X轴旋转矩阵，$R - I$为：
$$\pmatrix{0 & 0 & 0\ 0 & \cos(-\frac{\pi}{4})-1 & -\sin(-\frac{\pi}{4}) \ 0 & \sin(-\frac{\pi}{4}) & \cos(-\frac{\pi}{4})-1}$$
解这个方程组会得到 $\vec{v} = k\pmatrix{1\0\0}$（k为任意非零常数），归一化后就是单位旋转轴 $\vec{u} = \pmatrix{1\0\0}$

步骤3：构造四元数 #

有了旋转角$\alpha$和旋转轴$\vec{u}$，再用和方法一相同的公式构造四元数，最终结果同样是 $\cos{\frac{\pi}{8}} - \sin{\frac{\pi}{8}}i $

两种方法本质是相通的，简便法适合你明确知道旋转参数的场景，通用解则适用于处理任意未知来源的旋转矩阵，记得掌握这两种思路哦~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user2740