如何将给定三角函数定积分转化为第二类完全椭圆积分？

首先，我们一步步拆解原积分的化简过程，最终匹配到你提到的椭圆积分形式：

原积分是：
$$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{{2\pi}\sqrt{(u\cos\theta+v\sin\theta)}2-(u^2+v2-1)} d\theta$$

步骤1：化简根号内的表达式 #

先展开平方项$(u\cos\theta+v\sin\theta)^2$：
$$(u\cos\theta+v\sin\theta)^2 = u^2\cos2\theta + 2uv\sin\theta\cos\theta + v^2\sin2\theta$$

将其代入根号内并整理同类项：
$$
\begin{align*}
&\sqrt{u^2\cos2\theta + 2uv\sin\theta\cos\theta + v^2\sin2\theta - u^2 - v^2 + 1}\
=&\sqrt{u^2(\cos2\theta - 1) + v^2(\sin2\theta - 1) + 2uv\sin\theta\cos\theta + 1}
\end{align*}
$$

利用三角恒等式$\cos^2\theta - 1 = -\sin^{2\theta$，$\sin}2\theta - 1 = -\cos^2\theta$，代入后得到：
$$\sqrt{-u^2\sin2\theta - v^2\cos2\theta + 2uv\sin\theta\cos\theta + 1}$$

注意到$-u^2\sin2\theta - v^2\cos2\theta + 2uv\sin\theta\cos\theta = -(u\sin\theta - v\cos\theta)^2$（完全平方展开的逆运算），因此根号内可以简化为：
$$\sqrt{1 - (u\sin\theta - v\cos\theta)^2}$$

此时原积分简化为：
$$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1 - (u\sin\theta - v\cos\theta)^2} d\theta$$

步骤2：利用三角函数的旋转不变性简化积分 #

观察$u\sin\theta - v\cos\theta$，我们可以用辅助角公式将其改写为单一三角函数形式：
$$u\sin\theta - v\cos\theta = R\sin(\theta - \phi)$$
其中$R = \sqrt{u^2 + v^2}$，$\phi$是满足$\cos\phi = \frac{u}{R}$、$\sin\phi = \frac{v}{R}$的常数（具体值不影响积分结果，因为积分区间是$[0,2\pi]$，三角函数具有周期性）。

令$t = \theta - \phi$，则$dt = d\theta$，积分区间从$[0,2\pi]$变为$[-\phi, 2\pi - \phi]$，但由于被积函数的周期是$2\pi$，积分值不变，因此积分可以改写为：
$$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1 - R^2\sin2t} dt$$

步骤3：利用对称性缩小积分区间，匹配椭圆积分定义 #

由于$\sin^2t = \sin^2(\pi - t) = \sin^2(t + \pi)$，被积函数$\sqrt{1 - R^2\sin2t}$在$[0,2\pi]$上具有对称性：

• $[0, \frac{\pi}{2}]$和$[\frac{\pi}{2}, \pi]$上的积分相等
• $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$和$[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$上的积分相等，且与前两个区间的积分值相同

因此整个区间的积分等于4倍$[0, \frac{\pi}{2}]$上的积分：
$$\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1 - R^2\sin2t} dt = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1 - R^2\sin2t} dt$$

代入原积分后得到：
$$\frac{1}{2\pi} \times 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1 - R^2\sin2t} dt = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1 - R^2\sin2t} dt$$

匹配给定的椭圆积分定义 #

你提到Mathematica的结果是$\frac{1}{2\pi}E(u^2+v2)$，其中$E(x)$的定义为$E(x)=\int_{0}^{{\pi/2}\sqrt{1+k}2\sin^{2(\theta)}d\theta$。这里需要注意：标准的第二类完全椭圆积分通常定义为$E(m)=\int_{0}}{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1 - m\sin^2\theta}d\theta$（其中$m = k^2$），而你给出的定义符号略有不同，推测是笔误或者特定的定义形式。

如果我们把你的$E(x)$定义调整为$E(x)=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1 - x\sin^2\theta}d\theta$，那么就可以直接得到：
$$\frac{1}{2\pi}E(u^2+v2) = \frac{1}{2\pi} \times 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1 - (u^2+v2)\sin^2\theta}d\theta = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1 - (u^2+v2)\sin^2\theta}d\theta$$
这和我们推导的结果完全一致，也就完成了原积分到椭圆积分的转化。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Arbuja