设p为≥2偶数，求证可逆实矩阵行列式非负：为何用多项式无实根？

设$p \in \mathbb{N}$，$p \geq 2$且为偶数。求证：对所有可逆实矩阵$X$，均有$$\det(X^{p}+X{p-1}+\dots+X+I)\geq 0$$

已知某解法仅利用多项式$f(x)=x^p+x{p-1}+\dots+x+1$无实根这一事实即可完成证明，下面咱们来拆解为什么这个条件就足够：

• 实矩阵特征值的核心性质：任意实矩阵的特征值要么是实数，要么是成对出现的共轭复数（若$\lambda$是特征值，则$\overline{\lambda}$必也是）。又因为$X$可逆，所以所有特征值都不为0。
• 矩阵多项式的特征值规律：对于多项式$f(x)$，矩阵$f(X)$的特征值就是$f(\lambda)$，其中$\lambda$是$X$的特征值——简单说就是把多项式直接作用在原矩阵的每个特征值上，就得到了矩阵多项式的特征值。
• 从$f(x)$无实根推导$f(\lambda)$的符号：
  • 针对$X$的实特征值$\lambda$：因为$f(x)$无实根，说明对任意实数$x$，$f(x)≠0$。结合$p$是偶数的条件，可进一步推出$f(x)$在实数域上恒为正：
    • 当$x>0$时，$f(x)$每一项都是正数，求和结果必然大于0；
    • 当$x<0$时，利用等比数列求和公式$f(x)=\frac{x^{{p+1}-1}{x-1}$（$x≠1$），$p$为偶数则$p+1$是奇数，分子$x}{p+1}-1$为负，分母$x-1$也为负，负负得正，故$f(x)>0$；
    • 当$x=1$时，$f(1)=p+1>0$（因$p≥2$）。
      所以所有实特征值对应的$f(\lambda)$都是正数。
  • 针对$X$的共轭复特征值对$\lambda$和$\overline{\lambda}$：由于$f(x)$是实系数多项式，满足$f(\overline{\lambda})=\overline{f(\lambda)}$，二者的乘积为$|f(\lambda)|^2$，这是一个正数。
• 行列式的最终结论：矩阵的行列式等于所有特征值的乘积。$f(X)$的所有特征值要么是正实数，要么是乘积为正的共轭复数对，将它们全部相乘，结果必然是正数（满足非负要求），因此$\det(X^{p}+X{p-1}+\dots+X+I)\geq 0$成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shroud