$\Bbb{Z}[X]$能否嵌入素数模乘积？映射$\psi$是否为环单同态？

咱们先把基础定义和问题摆明白：

设$p_n$为第$n$个素数，定义映射$\psi: \Bbb{Z}[X] \to \prod\limits_{n \geq 1} \Bbb{Z}/(p_n)$，其中$\psi(f) = \prod\limits_{n\geq 1} \overline{f(n)}$。

核心疑问 #

• 这个映射$\psi$是不是环单同态？
• 有没有非零多项式$f \in \Bbb{Z}[X]$，能满足对所有$n \geq 1$，$p_n \mid f(n)$？

延伸分析 #

如果$\ker \psi \neq 0$（也就是说$\psi$不是单同态），那一定存在非零元$g \in \ker \psi$，而且对于任意$k \geq 1$，这个$g$也会属于映射$\phi_k: \Bbb{Z}[X] \to \Bbb{Z}/(2) \times \Bbb{Z}/(3) \times \cdots \times \Bbb{Z}/(p_k)$的核$\ker \phi_k$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者UniversalBasicIncomeSupporter8