求证：光滑紧支集函数积分收敛可推出概率测度序列弱收敛

开发者阿泽

2026-5-19

证明：由光滑紧支集函数的积分收敛推出概率测度弱收敛

这个结论是概率测度弱收敛里非常实用的等价刻画，我来一步步给你拆解开证明过程，保证每一步都清晰：

第一步：先证明概率测度序列 ${P_n}$ 是 tight（紧性）的

Tightness的定义是：对任意 $\varepsilon>0$，存在紧集 $K \subset \mathbb{R}$，使得对所有 $n$，都有 $P_n(K) \geq 1-\varepsilon$。这一步是关键，因为它能帮我们把“无穷远”部分的测度控制得足够小，避免后续逼近时出现问题。

具体构造如下：

取一个光滑紧支集函数 $\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R})$，满足：
- 当 $|x| \leq M$ 时，$\phi(x)=1$；
- 当 $|x| \geq M+1$ 时，$\phi(x)=0$；
- 且 $0 \leq \phi(x) \leq 1$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立。
根据题设条件，$\int \phi dP_n \xrightarrow{n\rightarrow\infty} \int \phi dP$。因此对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$|\int \phi dP_n - \int \phi dP| < \varepsilon/2$。
而 $\int \phi dP \geq P([-M,M])$（因为 $\phi$ 在 $[-M,M]$ 上等于1，其他地方非负），所以 $\int \phi dP_n \geq \int \phi dP - \varepsilon/2 \geq P([-M,M]) - \varepsilon/2$。
又因为 $P$ 是概率测度，当 $M$ 足够大时，$P([-M,M]) \geq 1-\varepsilon/2$，代入上式得 $P_n([-M,M]) \geq \int \phi dP_n \geq 1-\varepsilon$。
对于 $n \leq N$，我们可以直接取更大的 $M'$，使得所有 $P_n([-M',M']) \geq 1-\varepsilon$（有限个概率测度的tightness是显然的）。

综上，${P_n}$ 是tight的。

我们用逼近法结合第一步的tightness来证明：

设 $f \in C_b(\mathbb{R})$，记 $||f||_\infty = M$（即 $f$ 的上确界，因为 $f$ 有界）。
对任意 $\varepsilon>0$，先由tightness找到紧集 $K=[-L,L]$，使得 $P_n(K) \geq 1-\frac{\varepsilon}{6M}$，$P(K) \geq 1-\frac{\varepsilon}{6M}$ 对所有 $n$ 成立。
利用光滑Urysohn引理，构造一个 $\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R})$，满足：
- 当 $x \in K$ 时，$\phi(x)=f(x)$；
- $||\phi||_\infty \leq M$（保证 $\phi$ 也有界）；
- $\phi$ 的支集包含在 $[-L-1,L+1]$ 中（紧支集）。
现在拆分积分差：
$$
|\int f dP_n - \int f dP| \leq |\int (f-\phi)dP_n| + |\int \phi dP_n - \int \phi dP| + |\int (\phi-f)dP|
$$
分别估算每一项：
1. $|\int (f-\phi)dP_n| = \int_{K^c} |f-\phi|dP_n \leq (M+M)P_n(K^c) \leq 2M \cdot \frac{\varepsilon}{6M} = \frac{\varepsilon}{3}$
2. $|\int (\phi-f)dP|$ 同理也 $\leq \frac{\varepsilon}{3}$
3. 因为 $\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R})$，根据题设条件，当 $n$ 足够大时，$|\int \phi dP_n - \int \phi dP| \leq \frac{\varepsilon}{3}$
把三项加起来，当 $n$ 足够大时，$|\int f dP_n - \int f dP| \leq \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$。
由 $\varepsilon$ 的任意性，就得到了 $\int f dP_n \xrightarrow{n\rightarrow\infty} \int f dP$，也就是 $P_n \Rightarrow P$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user460426