t-传递群作用下子集轨道构成t-设计的证明问询

咱们来一步步拆解这个问题，理清证明的逻辑和你提到的疑问点：

已知条件与待证结论 #

• 设$G$是集合$X$上的t-传递群
• $S$是$X$的一个k-子集
• 待证结论：$S$在$G$作用下的轨道$S^G$构成一个$t-(n,k,\lambda)$-设计，其中$\lambda=\frac{|G|\binom{k}{t}}{|Stab_S|\binom{n}{t}}$

利用已知t-设计公式推导区组数量 #

首先回忆t-设计的基本公式：

对于任意$t$-设计，有$\lambda=b\frac{\binom{k}{t}}{\binom{n}{t}}$（其中$b$为区组总数）

把题目给出的$\lambda$代入这个公式，变形后可以得到区组数量：
$$
b = \lambda \times \frac{\binom{n}{t}}{\binom{k}{t}} = \frac{|G|\binom{k}{t}}{|Stab_S|\binom{n}{t}} \times \frac{\binom{n}{t}}{\binom{k}{t}} = \frac{|G|}{|Stab_S|}
$$
这和群作用下轨道大小的公式（轨道大小=群的阶/稳定子群的阶）完全吻合，所以这一步的推导是没问题的。

你提到的疑问：如何证明轨道确实构成t-设计？ #

核心点在于，t-设计的定义要求任意t元子集都恰好出现在$\lambda$个区组中，我们不能只满足区组数量符合公式，还需要验证这个核心条件：

1. 任取$X$中的两个t元子集$T_1$和$T_2$，因为$G$是t-传递群，所以必然存在元素$g\in G$，使得$T_1^g = T_2$。
2. 设$N_1$是$S^G$中包含$T_1$的区组数量，$N_2$是包含$T_2$的区组数量。我们可以建立一个双射：
   • 对每个包含$T_1$的区组$S^h$（$h\in G$），对应的$S^{{hg}$必然包含$T_1}g=T_2$；
   • 反过来，每个包含$T_2$的区组$S^{m$，对应的$S}{mg^{{-1}}$会包含$T_2}{g^{-1}}=T_1$。
3. 这个双射说明$N_1=N_2$，也就是说所有t元子集包含的区组数量都相等，设这个数量为$\lambda$，满足t-设计的定义。

补全$\lambda$表达式的推导 #

我们再通过计数来验证$\lambda$的表达式：

• 从区组角度看：所有区组中包含的t元子集总数是$b\times\binom{k}{t}$；
• 从t元子集角度看：所有t元子集被包含的总次数是$\binom{n}{t}\times\lambda$；
• 这两个总数是相等的，即$\binom{n}{t}\lambda = b\binom{k}{t}$；
• 代入$b=\frac{|G|}{|Stab_S|}$，整理后就得到$\lambda=\frac{|G|\binom{k}{t}}{|Stab_S|\binom{n}{t}}$，和题目给出的表达式一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dan P.