是否存在整函数f∈Hol(ℂ)满足|z|≥2017时|f(z)|=|z|+1？

嘿，你的思路方向其实是对的，我们可以沿着构造(g(z)=1/f(z))的路径，结合几个复分析核心定理导出矛盾，证明这样的全纯函数不存在，具体步骤如下：

1. 分析(g(z))的初步性质 #

首先，当(|z|≥2017)时，(|f(z)|=|z|+1≥2018≠0)，所以(g(z)=1/f(z))在这个区域内全纯，且(|g(z)|=1/(|z|+1)≤1/2018)，显然有界。

接下来我们分两种情况讨论(f(z))在(|z|≤2017)内的零点情况，两种情况都会导出矛盾：

2. 情况一：(f(z))在(|z|≤2017)内无零点 #

此时(g(z))是整个复平面上的有界整函数，根据Liouville定理（有界整函数必为常数），(g(z))是常数，即(f(z)=1/c)（(c)为非零常数）。但这与题设条件矛盾：当(|z|→∞)时，(|f(z)|=|1/c|)是常数，而(|z|+1)趋向无穷，显然不可能相等。

3. 情况二：(f(z))在(|z|≤2017)内有零点 #

设(z_0)是(f(z))在(|z|≤2017)内的一个零点，重数为(k≥1)，那么(g(z)=1/f(z))在(z_0)处是(k)阶极点。我们构造函数：
[h(z) = g(z) \cdot (z-z_0)^k]
显然(h(z))是整个复平面上的整函数（极点被抵消了），且(h(z_0)≠0)。

子情况3.1：(k=1) #

当(|z|≥2017)时，(|h(z)|=|z-z_0|/(|z|+1))，利用三角不等式(|z-z_0|≤|z|+|z_0|≤|z|+2017)，可得：
[|h(z)| ≤ \frac{|z|+2017}{|z|+1} = 1 + \frac{2016}{|z|+1} ≤ 1 + \frac{2016}{2018} < 2]
即(h(z))是有界整函数，由Liouville定理得(h(z))是常数(C≠0)，因此：
[f(z) = \frac{z-z_0}{C}]
这是一次多项式，但我们可以验证它无法满足题设：取(z=t)（(t→+∞)，实轴正方向），则(|f(z)|=|t-z_0|/|C|)；取(z=-t)（(t→+∞)，实轴负方向），则(|f(z)|=|-t-z_0|/|C|)。而题设要求(|f(z)|=|z|+1)，即：
[|t-z_0|=|C|(t+1),\quad |-t-z_0|=|C|(t+1)]
当(t→∞)时，左边分别趋向(t)和(t)，右边趋向(|C|t)，故(|C|=1)，但此时第一个等式变为(t - |z_0| ≈ t+1)（当(t)足够大），即(-|z_0|≈1)，与(|z_0|≥0)矛盾。

子情况3.2：(k≥2) #

当(|z|→∞)时，(|h(z)|=|z-z_0|^{k/(|z|+1)≈|z|}k/|z|=|z|^{{k-1})，即(h(z))是(k-1)次多项式（多项式增长的整函数必为多项式）。设(h(z)=d_{k-1}z}{k-1}+...+d_0)（(d_{k-1}≠0)），则：
[|f(z)| = \frac{|z-z_0|^k}{|h(z)|} ≈ \frac{|z|^{k}{|d_{k-1}||z|}{k-1}} = \frac{|z|}{|d_{k-1}|}]
结合题设(|f(z)|≈|z|)，得(|d_{k-1}|=1)。但当(t→∞)时，(|f(t)|≈t)，而题设要求(|f(t)|=t+1)，显然(t≈t+1)不可能成立，矛盾。

结论 #

无论(f(z))在(|z|≤2017)内是否有零点，都会导出矛盾，因此不存在这样的全纯函数(f∈Hol(ℂ))。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user401516