自相关矩阵构造疑问：维基定义与自行推导结果不符

哈哈，我太懂这种推导半天对不上定义的抓狂感了！咱们先把核心矛盾点揪出来——维基百科里的随机向量$\boldsymbol{x}$和你定义的$\boldsymbol{x}$压根不是同一个东西，这就是你卡壳的根源！

• 维基百科里的$\boldsymbol{x}$是单变量的N维随机序列：每个元素$x_i$都是标量（不管是实数还是复数），比如$\boldsymbol{x} = [x_0, x_1, ..., x_{N-1}]^T$，这里的$x_0$到$x_{N-1}$是同一变量在不同时刻/位置的取值，属于单通道的序列数据。
• 你定义的$\boldsymbol{x}$是包含N个D维样本的集合：相当于$\boldsymbol{x} = [\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}1, ..., \boldsymbol{x}{N-1}]$，其中每个$\boldsymbol{x}_i$都是D维向量（比如图像的像素特征、多传感器的采样值），这其实更接近“样本矩阵”的概念，和维基百科里的“随机向量”定义完全不是一码事。

咱们用维基百科的$\boldsymbol{x}$来算一遍，你就能对上了：
首先计算$\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^H$（这里的$H$是共轭转置，实数情况下就是普通转置）：
$$
\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^H = \begin{bmatrix} x_0 \ x_1 \ \vdots \ x_{N-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0^* & x_1^* & \cdots & x_{N-1}^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0x_0^* & x_0x_1^* & \cdots & x_0x_{N-1}^* \ x_1x_0^* & x_1x_1^* & \cdots & x_1x_{N-1}^* \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ x_{N-1}x_0^* & x_{N-1}x_1^* & \cdots & x_{N-1}x_{N-1}^* \end{bmatrix}
$$
然后对每个元素取期望$E[\cdot]$，对于平稳随机序列，自相关函数定义为$R_{xx}(k) = E[x_n x_{n+k}^*]$（和n无关），所以：

• 对角线元素：$E[x_i x_i^*] = R_{xx}(0)$，这是每个位置的自相关（能量）；
• 第i行第j列的元素：$E[x_i x_j^] = R_{xx}(i-j)$，当$i<j$时，$i-j$是负数，而平稳序列的自相关满足$R_{xx}(-k) = R_{xx}^{*(k)$，所以就变成了$R_{xx}}(j-i)$——这正好对应维基百科给出的矩阵形式！

如果按你的设定，$\boldsymbol{x}$是N个D维样本的集合，那通常我们会根据需求定义两种相关矩阵：

• 要是想算样本序列的自相关（把每个D维样本当一个整体），那自相关矩阵会是$ND \times ND$的超大矩阵，每个块对应两个样本的互相关；
• 更多时候，我们会算样本的协方差矩阵$E[(\boldsymbol{x} - \mu)(\boldsymbol{x} - \mu)^T]$，或者每个维度内部的自相关，这些和维基百科里的单序列自相关矩阵就不是一个概念了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tierriminator