求证$X \setminus \operatorname{Int}A \subseteq \overline {X\setminus A}$的反证法推导指导

已知拓扑学定义 #

• $\overline{X\setminus A} ={x \in X : \text{$x$是$X\setminus A$的附着点}}$
• $x$是$X\setminus A$的附着点：修正说明：正确定义应为「$X$中每个包含$x$的开子集都与$X \setminus A$有非空交集」（原定义遗漏了“包含$x$”的条件，否则逻辑不成立）
• $\operatorname{Int}A=\bigcup {U : U \subset A, \text{$U$是开集}}$（即$A$的内部是$A$中所有开子集的并集）
• $x \in X \setminus \operatorname{Int}A \iff x \notin \operatorname{Int}A$

反证法证明过程 #

我们需要证明：对任意$x \in X \setminus \operatorname{Int}A$，都有$x \in \overline{X\setminus A}$

步骤1：明确反证假设

采用反证法，假设存在某个$x \in X \setminus \operatorname{Int}A$，但$x \notin \overline{X\setminus A}$。

根据$\overline{X\setminus A}$的定义，$x \notin \overline{X\setminus A}$意味着：$x$不是$X\setminus A$的附着点。结合修正后的附着点定义，这等价于：

存在$X$中的一个开子集$U$，满足$x \in U$，且$U \cap (X \setminus A) = \emptyset$

步骤2：推导矛盾

从$U \cap (X \setminus A) = \emptyset$可以直接推出：$U \subseteq A$（如果$U$中存在不属于$A$的元素，那这个元素必然属于$X\setminus A$，交集就不可能为空）。

而根据$\operatorname{Int}A$的定义，$\operatorname{Int}A$是$A$中所有开子集的并集，因此任何$A$的开子集都包含于$\operatorname{Int}A$。这里$U$是开集且$U \subseteq A$，所以$U \subseteq \operatorname{Int}A$。

又因为$x \in U$，所以$x \in \operatorname{Int}A$——但我们的前提是$x \in X \setminus \operatorname{Int}A$，也就是$x \notin \operatorname{Int}A$，这就产生了矛盾。

步骤3：得出结论

假设不成立，因此所有$x \in X \setminus \operatorname{Int}A$都满足$x \in \overline{X\setminus A}$，即$X \setminus \operatorname{Int}A \subseteq \overline{X\setminus A}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hikicianka