求证：实数x范围内Re((x+i)^10)的最大值为-(sin(π/18))⁻⁹，求思路

首先，我们可以把问题转化为复数极坐标下的函数极值问题，一步步拆解如下：

• 步骤1：将复数转化为极坐标形式
  设 ( z = x + i )（( x \in \mathbb{R} )），用极坐标表示为 ( z = r e^{i\theta} )，其中：

  • ( r = \sqrt{x^2 + 1} )（复数的模）
  • ( \theta = \arctan\left(\frac{1}{x}\right) )（复数的辐角，范围是 ( (0, \pi) )，因为虚部恒为正）

  由 ( \tan\theta = \frac{1}{x} ) 可得 ( x = \cot\theta )，代入模的公式化简得 ( r = \frac{1}{\sin\theta} )（因为 ( \theta \in (0, \pi) ) 时 ( \sin\theta > 0 )）。

• 步骤2：把实部表示为关于θ的函数
  复数的10次幂为 ( z^{10} = r^{10} e^{i10\theta} )，其虚部为 ( \operatorname{Re}(z^{10}) = r^{10} \cos(10\theta) )。
  代入 ( r = \frac{1}{\sin\theta} )，得到：
  [
  \operatorname{Re}(z^{10}) = \frac{\cos(10\theta)}{\sin^{10}\theta}
  ]
  现在问题转化为求函数 ( f(\theta) = \frac{\cos(10\theta)}{\sin^{10}\theta} ) 在 ( \theta \in (0, \pi) ) 上的极值。

• 步骤3：求导找临界点
  为了简化求导，我们对 ( \ln|f(\theta)| ) 求导（对数函数单调，极值点与原函数一致）：
  [
  \frac{d}{d\theta} \ln|f(\theta)| = \frac{-10\sin(10\theta)}{\cos(10\theta)} - 10 \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
  ]
  令导数为0，整理得到：
  [
  \sin(10\theta)\sin\theta = -\cos(10\theta)\cos\theta
  ]
  利用余弦差角公式 ( \cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B )，化简后可得：
  [
  \cos(9\theta) = 0
  ]
  解得 ( 9\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi )（( k \in \mathbb{Z} )），结合 ( \theta \in (0, \pi) )，得到 ( \theta = \frac{\pi + 2k\pi}{18} )（( k = 0, 1, ..., 8 )）。

• 步骤4：计算临界点的函数值
  我们逐个计算这些θ对应的 ( f(\theta) ) 值：

  • 当 ( k=0 ) 时，( \theta = \frac{\pi}{18} )，则 ( 10\theta = \frac{5\pi}{9} )，( \cos\left(\frac{5\pi}{9}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{18}\right) )（利用诱导公式 ( \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x ) 推导）。代入 ( f(\theta) )：
    [
    f\left(\frac{\pi}{18}\right) = \frac{-\sin\left(\frac{\pi}{18}\right)}{\sin^{10}\left(\frac{\pi}{18}\right)} = -\frac{1}{\sin^9\left(\frac{\pi}{18}\right)}
    ]
  • 当 ( k=1 ) 时，( \theta = \frac{\pi}{6} )，( 10\theta = \frac{5\pi}{3} )，( \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} )，( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} )，则：
    [
    f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{10}} = 512
    ]

这里需要注意：题目中的结论大概率存在笔误，512是一个远大于 ( -\frac{1}{\sin^9\left(\frac{\pi}{18}\right)} ) 的正值，所以你给出的式子实际上是函数的最小值，而非最大值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Adjoint-Operator