如何证明等式$rac{(n+1)(n+2)...(3n)}{(1*2)(4*5)...(3n-2)(3n-1)}=3^n$？

没问题，我来一步步带你拆解这个等式的证明过程，全程用数学归纳法，每一步都讲明白～

我们要证明的等式是：
$$\frac{(n+1)(n+2)(n+3)\dots(3n)}{(1 \times 2)(4 \times 5)(7 \times 8)\dots(3n-2)(3n-1)} = 3^n$$

第一步：验证基础情况（n=1） #

先从最简单的n=1开始试，这是数学归纳法的起点：

• 左边分子：从$(n+1)$到$3n$，也就是从2到3，计算得$2 \times 3 = 6$
• 左边分母：按照规律，是$(1×2)$（因为$3n-2=1$，$3n-1=2$），计算得$1 \times 2 = 2$
• 左边整体：$\frac{6}{2} = 3$
• 右边是$3^1 = 3$

左右两边相等，所以n=1时等式成立，基础情况没问题。

第二步：做出归纳假设 #

接下来我们假设，当n=k（k是任意正整数）时，这个等式是成立的。也就是：
$$\frac{(k+1)(k+2)\dots(3k)}{(1 \times 2)(4 \times 5)\dots(3k-2)(3k-1)} = 3^k \tag{1}$$
这一步是归纳法的核心假设，我们接下来要靠它推导n=k+1的情况。

第三步：推导n=k+1时等式成立 #

现在要证明当n=k+1时，等式左边等于$3^{k+1}$。首先先写出n=k+1时的左边表达式：
$$\frac{(k+2)(k+3)\dots(3k)(3k+1)(3k+2)(3k+3)}{(1 \times 2)(4 \times 5)\dots(3k-2)(3k-1)(3(k+1)-2)(3(k+1)-1)}$$

先把分母的最后两项化简一下：
$3(k+1)-2 = 3k+1$，$3(k+1)-1 = 3k+2$，所以分母就变成了：
$$(1 \times 2)(4 \times 5)\dots(3k-2)(3k-1)(3k+1)(3k+2)$$

现在把n=k+1的左边和n=k的左边对比一下，找找关联：

• n=k+1的分子，比n=k的分子多了$(3k+1)(3k+2)(3k+3)$这三项，同时少了最开始的$(k+1)$这一项
• n=k+1的分母，比n=k的分母多了$(3k+1)(3k+2)$这两项

所以n=k+1的左边可以写成：
[n=k时的左边] × $\frac{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}{(k+1)(3k+1)(3k+2)}$

现在把我们的归纳假设（式1）代入进去，n=k时的左边是$3^k$，所以：
$$3^k \times \frac{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}{(k+1)(3k+1)(3k+2)}$$

接下来开始约分：分子分母里的$(3k+1)$和$(3k+2)$可以直接约掉，剩下：
$$3^k \times \frac{3k+3}{k+1}$$
把分子$3k+3$提取公因数3，变成$3(k+1)$，再和分母的$(k+1)$约掉：
$$3^k \times \frac{3(k+1)}{k+1} = 3^k \times 3 = 3^{k+1}$$

这不就是n=k+1时等式的右边嘛！所以n=k+1时等式也成立。

最后总结 #

根据数学归纳法的逻辑：基础情况成立，且如果n=k成立则n=k+1也成立，那这个等式对所有正整数n都成立啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者WantToKnowMath