利用导数定义计算f(x)=1/(1+2x²)在x=1处的导数

没问题！你用导数的极限定义来求$f'(1)$的思路完全正确，这个定义就是专门用来计算函数在某一点的导数的，接下来咱们一步步把这个极限推导出来：

1. 先整理你已经得到的式子
   你已经代入$x_0=1$得到了：
   $$\lim_{h\to0}\frac{\bigg(\frac{1}{1+2(1+h)^2}\bigg) - \frac{1}{3}}{h}$$
   先把分母里的$(1+h)^2$展开并化简：
   $$1+2(1+h)^2 = 1+2(1+2h+h^2) = 1+2+4h+2h^2 = 3+4h+2h^2$$
   所以原式可以写成：
   $$\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{3+4h+2h^2} - \frac{1}{3}}{h}$$

2. 对分子的分式进行通分
   把分子的两个分式通分，公分母是$3(3+4h+2h^2)$，分子部分化简：
   $$\frac{3 - (3+4h+2h^{2)}{3(3+4h+2h}2)} = \frac{3-3-4h-2h^2}{3(3+4h+2h2)} = \frac{-4h-2h^2}{3(3+4h+2h2)}$$
   提取分子里的公因子$-h$：
   $$\frac{-h(4+2h)}{3(3+4h+2h^2)}$$

3. 约去$h$并求极限
   现在整个式子变成分子除以$h$，也就是乘以$\frac{1}{h}$（注意$h\to0$但$h\neq0$，所以可以安全约掉）：
   $$\lim_{h\to0}\frac{-h(4+2h)}{3(3+4h+2h^2) \cdot h} = \lim_{h\to0}\frac{-(4+2h)}{3(3+4h+2h^2)}$$
   现在直接代入$h=0$（因为代入后分母不为0，函数连续）：
   $$\frac{-(4+0)}{3(3+0+0)} = -\frac{4}{9}$$

最终得到$f'(1) = -\frac{4}{9}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Christian Giupponi