三角形高与边角的关系：等腰三角形化简为特殊形式的疑问

咱们一步步来搞明白这个问题的本质：

1. 先理解题目里的边和高的转换逻辑 #

首先看题目给出的边的定义：

对于△ABC，边a、b、c表示为$a=\frac{\sin A}{\sin C}$，$b=\frac{\sin B}{\sin C}$，$c=\frac{\sin C}{\sin C}=1$

这其实是正弦定理的变形应用：在任意三角形中，正弦定理是$\frac{a_{原}}{\sin A}=\frac{b_{原}}{\sin B}=\frac{c_{原}}{\sin C}=2R$（R是外接圆半径）。把公式变形一下就能得到：
$\frac{\sin A}{\sin C}=\frac{a_{原}}{c_{原}}$，$\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{b_{原}}{c_{原}}$

说白了，题目里的新边a、b，就是原三角形的边a₁、b₁和原边c₁的比值；新边c固定为1，相当于把原三角形以c₁边为基准，缩放成c边为1的相似三角形。

再看高的比例：

高$h_a$、$h_b$、$h_c$表示为$\frac{h_c}{h_a}$、$\frac{h_c}{h_b}$、$\frac{h_c}{h_c}$

三角形的高和边长是成正比的（相似三角形的高之比等于边长之比），所以$\frac{h_c}{h_a}=\frac{a_{原}}{c_{原}}$，$\frac{h_c}{h_b}=\frac{b_{原}}{c_{原}}$，这和边的转换结果完全一致。

2. 代入原三角形（5,5,4）计算验证 #

原三角形是等腰三角形，边长为5、5、4。我们把原三角形的底边设为c₁=4，腰为a₁=b₁=5：

• 根据转换规则，新边$a=\frac{a_{原}}{c_{原}}=\frac{5}{4}=1.25$，新边$b=\frac{b_{原}}{c_{原}}=\frac{5}{4}=1.25$，新边c=1，正好得到题目里的特殊三角形。
• 再验证高的部分：原三角形底边c₁=4对应的高$h_{c原}=\sqrt{5^2 - 2^2}=\sqrt{21}$（和题目给出的一致）。腰a₁=5对应的高$h_{a原}$，可以用面积计算：三角形面积$S=\frac{1}{2}4\sqrt{21}=2\sqrt{21}$，同时$S=\frac{1}{2}5h_{a原}$，所以$h_{a原}=\frac{4\sqrt{21}}{5}$。那么$\frac{h_{c原}}{h_{a原}}=\frac{\sqrt{21}}{\frac{4\sqrt{21}}{5}}=\frac{5}{4}=1.25$，和新边a的数值一致；同理$\frac{h_{c原}}{h_{b原}}=1.25$，完全对应上。

3. 本质总结 #

题目里的转换过程，其实是对原三角形做了相似缩放：以原三角形的c边（这里是4）为基准，将整个三角形缩放，使得新的c边长度为1。因为相似三角形的边长、高的比例都等于相似比，所以新三角形的边长a、b就是原边长与原c边的比值，自然得到a=b=1.25、c=1的等腰三角形。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user450072