满足Lebesgue外测度条件的可测函数是否几乎处处连续？

咱们来聊一个实分析里的有趣问题：
设 $x \in \mathbb{R}$，$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是可测函数，$\mu$ 是Lebesgue外测度。对任意 $a \in \mathbb{R}$，我们定义集合：
$$A_{n, a}={x\ |\ f(a)\le f(x)<f (a)+\frac {1}{n}}$$

核心问题来了：如果对所有的 $a \in \mathbb{R}$，都有 $\lim_{n \to \infty}\mu(A_{n,a})=0$，那能不能推出 $f(x)$ 是几乎处处连续的？

之后@GEdgar把这个问题做了等价简化，变成了：是否存在一个可测函数$f$，它满足两个条件——

• 对所有$a \in \mathbb{R}$，$\lim_{n\to\infty} \mu (A_{n,a}) = \mu\left{x\ |\ f(a) = f(x)\right} =0$
• $f$是几乎处处不连续的？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ibnAbu