求偏导数有界且f(0,0)=0的二元函数在(1,2)点的最大值及示例

首先直接给出结论：$f$在点$(1,2)$处能取得的最大值是50。

推导过程 #

我们可以借助多元函数的微积分基本定理来推导这个结果：
已知$f(0,0)=0$，对于从$(0,0)$到$(1,2)$的任意光滑路径，都有：
$$
f(1,2) = f(1,2) - f(0,0) = \int_{(0,0)}^{(1,2)} \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy
$$
为了简化计算，我们选择直线段路径：$x=t, y=2t$（其中$t$从0到1）。代入上式可得：
$$
f(1,2) = \int_{0}^{1} \left( \frac{\partial f}{\partial x}(t,2t) \cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}(t,2t) \cdot 2 \right) dt
$$
根据绝对值不等式，我们可以对积分结果做如下估计：
$$
|f(1,2)| \leq \int_{0}^{1} \left( \left| \frac{\partial f}{\partial x}(t,2t) \right| + 2\left| \frac{\partial f}{\partial y}(t,2t) \right| \right) dt
$$
代入题目给出的偏导绝对值限制$\left| \frac{\partial f}{\partial x} \right| \leq 10$和$\left| \frac{\partial f}{\partial y} \right| \leq 20$，计算得：
$$
|f(1,2)| \leq \int_{0}^{1} (10 + 2 \times 20) dt = \int_{0}^{1} 50 dt = 50
$$
这说明$f(1,2)$的最大值不会超过50。

满足条件的函数例子 #

要让等号成立，只需让偏导在整个定义域内都取到上限值（即$\frac{\partial f}{\partial x}=10$，$\frac{\partial f}{\partial y}=20$），对应的函数为：
$$
f(x,y) = 10x + 20y
$$
验证一下：

• $f(0,0)=10\times0 + 20\times0=0$，满足初始条件；
• $\frac{\partial f}{\partial x}=10$，$\left| \frac{\partial f}{\partial x} \right|=10 \leq 10$；$\frac{\partial f}{\partial y}=20$，$\left| \frac{\partial f}{\partial y} \right|=20 \leq 20$，满足偏导限制；
• $f(1,2)=10\times1 + 20\times2=10+40=50$，正好取到最大值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者userr777