多面体的光滑性：关于顶点光滑性定义中w_i的疑问

嘿，这个问题确实容易让人懵——我刚接触格多面体的时候也对着这个定义卡了好一会儿！首先得补个关键前提：这个定义是针对格多面体（所有顶点都落在整数格$\mathbb{Z}^n$里的多面体）的，普通多面体的“光滑”定义完全不一样，这是很多资料没写全的坑。

接下来直接说$w_i$的来源：

• 这些$w_i$是顶点$p$的相邻顶点，也就是和$p$共享一条边的顶点（换句话说，沿着多面体的边从$p$走一步能到达的顶点）。
• 定义里的${w_1-p, w_2-p,...,w_n-p}$，其实就是从$p$指向这些相邻顶点的边方向向量。

然后要注意，这些向量绝对不是随便选的，得满足两个核心条件：

1. 它们必须是线性无关的（毕竟要能拓展成$\mathbb{R}^{n$的基，而$\mathbb{Z}}n$的基天然也是$\mathbb{R}^n$的基）；
2. 更关键的是，这$n$个向量要能生成整个整数格$\mathbb{Z}^{n$——意思是，任何一个整数格点向量$v\in\mathbb{Z}}n$，都能写成这$n$个边方向向量的整数线性组合（比如$v = a_1(w_1-p) + a_2(w_2-p)+...+a_n(w_n-p)$，其中$a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}$）。

举个直观例子帮你理解 #

比如$\mathbb{R}^{2$里的单位正方形，顶点$p=(0,0)$，它的相邻顶点是$(1,0)$和$(0,1)$。对应的边方向向量是$(1,0)$和$(0,1)$，这俩刚好是$\mathbb{Z}}2$的标准基，所以这个顶点是光滑的。

但如果换一个多面体，比如顶点$p=(0,0)$的相邻顶点是$(2,0)$和$(0,1)$，那边方向向量是$(2,0)$和$(0,1)$——你没法用这俩的整数组合得到$(1,0)$，所以它们生成不了整个$\mathbb{Z}^2$，这个顶点就不是光滑的。

更简洁的等价定义 #

对于格多面体$P\subset\mathbb{R}^{n$的顶点$p\in\mathbb{Z}}n$，$p$是光滑的当且仅当：从$p$出发的所有边方向向量（即$q-p$，$q$是$p$的相邻顶点）生成的整数子格等于整个$\mathbb{Z}^n$，且这些边方向向量的线性秩恰好是$n$（也就是刚好有$n$个线性无关的边方向）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cypher