求仅含字母元素的4×4矩阵M的逆矩阵（若存在）

首先先把目标矩阵M再明确一下：
$$
M = \begin{bmatrix}
a & -b & -c & -d\
b & a & -d & c\
c & d & a & -b\
d & -c & b & a\
\end{bmatrix}
$$

按照教授提示的「利用矩阵乘法找逆」的思路，我们可以先计算M和它的转置矩阵$M^T$的乘积——这一步会发现很巧妙的规律：

先写出$M^T$：
$$
M^T = \begin{bmatrix}
a & b & c & d\
-b & a & d & -c\
-c & -d & a & b\
-d & c & -b & a\
\end{bmatrix}
$$

计算$M \times M^T$的元素：

• 对角线上的元素：比如第一行第一列，是M第一行和$M^{T$第一列（也就是M第一行）的点积：$a}2 + (-b)^2 + (-c)^2 + (-d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$，所有对角元素都是这个值，我们记为$S = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$。
• 非对角线上的元素：比如第一行第二列，是M第一行和$M^T$第二列（也就是M第二行）的点积：$a \times b + (-b) \times a + (-c) \times (-d) + (-d) \times c = ab - ab + cd - cd = 0$，同理所有非对角元素的计算结果都是0。

由此我们可以得到：
$$
M \times M^T = S \times I
$$
其中$I$是4阶单位矩阵。

接下来分两种情况讨论：

• 当$S \neq 0$（也就是$a,b,c,d$不同时为0）时，矩阵M可逆。我们把等式两边同时乘以$\frac{1}{S}$，就能得到：
  $$
  M \times \left( \frac{1}{S} M^T \right) = I
  $$
  根据逆矩阵的定义，这就说明M的逆矩阵是：
  $$
  M^{-1} = \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \begin{bmatrix}
  a & b & c & d\
  -b & a & d & -c\
  -c & -d & a & b\
  -d & c & -b & a\
  \end{bmatrix}
  $$
• 当$S = 0$（也就是$a=b=c=d=0$）时，M是零矩阵，显然不存在逆矩阵。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SEALK9