正实序列极限存在性问询：若$0\leq a_n \leq b_n$且$\lim b_n$存在，$\lim a_n$是否存在？

首先直接给出结论：不一定存在。

虽然序列$(a_n)_n$满足$0 \leq a_n \leq b_n$，且$\lim b_n$存在（设为$L$），这意味着$a_n$是有界的（上界为$L$，下界为0），但有界只是序列收敛的必要条件，而非充分条件——收敛要求序列的所有子列都趋近于同一个极限，仅靠有界无法保证这一点。

举个直观的反例就能说明：

• 令$b_n = 1$对所有正整数$n$，显然$\lim_{n \to \infty} b_n = 1$，存在且有限。
• 定义$a_n$为：当$n$是奇数时，$a_n = 1$；当$n$是偶数时，$a_n = 0$。

此时$0 \leq a_n \leq b_n = 1$完全满足题设条件，但$(a_n)n$的奇数项子列极限为1，偶数项子列极限为0，两个子列极限不相等，因此$\lim{n \to \infty} a_n$不存在。

补充说明：如果额外加上$(a_n)_n$是单调序列（比如单调递增），那么根据单调有界定理，此时$\lim a_n$一定存在（且不超过$\lim b_n$）。但题目中没有给出单调的前提，所以原结论不具有一般性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Student