混合有限元中$||u_h||_1^2=(f,u_h)$的推导求证

咱们一步步拆解这个推导，每一步的合理性都很清晰：

首先先明确原混合有限元问题的两个变分等式：

求$(u_h,p_h)\in V_h\times H_h$，满足
$$ (\nabla u_h,\nabla v)-(p_h,\operatorname{div}v)=(f,v)\quad\forall v\in V_h\ (q,\operatorname{div}u_h)=0\quad\forall q\in H_h $$
所有内积均为$L_2$-内积。

第一步：代入$v=u_h$到第一个方程 #

第一个方程的核心是对任意$v\in V_h$都成立，而$u_h$本身就是$V_h$中的元素（因为$(u_h,p_h)\in V_h\times H_h$），所以完全可以把$v$替换成$u_h$，得到：
$$ (\nabla u_h,\nabla u_h)-(p_h,\operatorname{div}u_h)=(f,u_h) $$

第二步：代入$q=p_h$到第二个方程 #

同样，第二个方程是对任意$q\in H_h$都成立，$p_h$属于$H_h$，所以替换$q=p_h$是合法的，代入后得到：
$$ (p_h,\operatorname{div}u_h)=0 $$

第三步：将两个式子相加 #

把第一步和第二步得到的等式左右两边分别相加：

• 左边：$(\nabla u_h,\nabla u_h)-(p_h,\operatorname{div}u_h) + (p_h,\operatorname{div}u_h)$，这里$-(p_h,\operatorname{div}u_h)$和$(p_h,\operatorname{div}u_h)$直接抵消，剩下$(\nabla u_h,\nabla u_h)$
• 右边：$(f,u_h) + 0 = (f,u_h)$

而根据你这里语境下的$||\cdot||_1$定义，$(\nabla u_h,\nabla u_h) = ||u_h||_1^{2$，所以最终就得到了$||u_h||_1}2=(f,u_h)$。

整个推导的每一步都没有问题：

• 替换变量的操作完全符合变分方程“对空间中所有元素成立”的前提；
• 内积的线性性质保证了相加后抵消项的合理性；
• 范数的定义直接对应了内积的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sigvaldm