求Atiyah-Bott框架下gauge群李代数对偶中共轭轨道的Marsden-Weinstein约化维数

我来一步步帮你推导这个Marsden-Weinstein约化空间（也就是平坦联络模空间$\mathcal{M}=F^{-1}(0)/\mathcal{G}$）的维数：

1. 基本空间的预备知识 #

首先明确几个核心空间的性质：

• 联络空间$\mathcal{A}$是仿射空间，其切空间$T_A\mathcal{A}=\Omega^1(\Sigma;\mathrm{Ad}P)$（$\mathrm{Ad}P$-值1形式空间），在Sobolev完备化下属于Fredholm空间范畴。
• 规范群$\mathcal{G}$的李代数$\mathfrak{g}=\Omega^0(\Sigma;\mathrm{Ad}P)$（$\mathrm{Ad}P$-值光滑函数空间），它作用在$\mathcal{A}$上的微分是协变导数$d_A:\mathfrak{g}\to T_A\mathcal{A}$，具体形式为$d_A\sigma=d\sigma+[A,\sigma]$。
• 矩映射$F(A)=F_A$是联络$A$的曲率形式，$F^{-1}(0)$就是平坦联络空间（满足曲率为0的联络集合）。

2. 约化空间维数的核心推导 #

Marsden-Weinstein约化空间的维数，本质是平坦联络空间除以规范群作用轨道后的空间维数，我们用Atiyah-Bott的指标理论来计算：

关键指标计算 #

对于平坦联络$A$，考虑协变导数算子$d_A:\Omega^k\to\Omega{k+1}$，利用Atiyah-Singer指标定理，它作用在$\Omega^0\to\Omega1$上的指标为：
$$\text{ind}(d_A)=\dim H^0(\Sigma;\mathrm{Ad}P)-\dim H^1(\Sigma;\mathrm{Ad}P)=\text{rank}(\mathrm{Ad}P)\cdot\chi(\Sigma)$$
其中$\chi(\Sigma)=2-2g$是曲面$\Sigma$的欧拉示性数，$\mathrm{Ad}P$的秩等于$\dim\mathfrak{su}(2)=3$，代入后得到：
$$\text{ind}(d_A)=3(2-2g)=6-6g$$

切空间维数与约化空间维数 #

平坦联络空间$F^{-1}(0)$在$A$处的切空间是$\ker d_A:\Omega^1\to\Omega2$（曲率线性化的核），而规范群作用的轨道切空间是$\text{im }d_A:\Omega^0\to\Omega1$。根据Hodge分解，约化空间$\mathcal{M}$在$[A]$处的切空间同构于：
$$\ker d_A/\text{im }d_A\cong H^1(\Sigma;\mathrm{Ad}P)$$

结合之前的指标公式，我们可以解出$\dim H^1$：
$$\dim H^1=\dim H^0 +6g-6$$

两种典型情况 #

• 不可约平坦联络（一般情况）：此时联络的holonomy群是$\mathrm{SU}(2)$的不可约子群，不存在非零的$\mathrm{Ad}P$-值平坦截面，即$\dim H^0=0$。因此约化空间的维数为：
  $$\dim\mathcal{M}=6g-6$$
• 可约平坦联络（特殊情况）：比如平凡联络，此时存在非零的平坦截面（常数$\mathfrak{su}(2)$值函数），$\dim H^0=3$，对应的约化空间切空间维数为$6g-3$，但这类联络是模空间中的低维子流形，不属于一般情况。

3. 特殊亏格验证 #

• 当$g=0$（球面）：所有平坦联络都是平凡联络，模空间退化为单点，维数0，这是因为球面不存在不可约平坦联络，属于特殊边界情况。
• 当$g=1$（环面）：不可约平坦联络模空间的实维数为$6\times1-6=0$，即离散的点集；而可约联络构成3维子流形，和推导结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Noë AC