一阶偏微分方程柯西问题求解：特征方程后续解法咨询

求解如下柯西问题：
$$(x+y)u_{x} + (x-y)u_y = 1$$
初始条件为 $u(1,y)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

你已经正确推导出特征方程 $\frac{dx}{x+y} = \frac{dy}{x-y} = \frac{du}{1}$，并得到第一个首次积分 $c_1 = x^2 - 2xy - y^2$，接下来我们可以通过沿着特征曲线积分的方式找到第二个关联关系，进而确定通解。

步骤1：沿着特征曲线积分$du$ #

我们选取特征方程中的 $\frac{dx}{x+y} = \frac{du}{1}$，即 $du = \frac{dx}{x+y}$。此时需要把 $y$ 用第一个首次积分 $c_1$ 和 $x$ 表示：

从 $c_1 = x^2 - 2xy - y^2$，将其视为关于 $y$ 的二次方程：
$$y^2 + 2xy + (c_1 - x^2) = 0$$
解这个方程得：
$$y = -x \pm \sqrt{2x^2 - c_1}$$

取其中一支（比如 $y = -x + \sqrt{2x^2 - c_1}$，此时 $x+y = \sqrt{2x^2 - c_1} > 0$），代入 $du = \frac{dx}{x+y}$ 得：
$$du = \frac{dx}{\sqrt{2x^2 - c_1}}$$

对右边积分，利用公式 $\int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + b}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \ln\left(\sqrt{a}x + \sqrt{ax^2 + b}\right) + C$，可得：
$$u = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left(\sqrt{2}x + \sqrt{2x^2 - c_1}\right) + f(c_1)$$

其中 $f(c_1)$ 是关于首次积分 $c_1$ 的任意函数，这就是方程的通解形式。

步骤2：代入初始条件确定$f(c_1)$ #

将初始条件 $x=1$ 时 $u=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 代入通解：
$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left(\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2 \cdot 1^2 - c_1}\right) + f(c_1)$$

注意当 $x=1$ 时，$c_1 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot y - y^2 = 1 - 2y - y^2$，代入根号内的项：
$$\sqrt{2 - c_1} = \sqrt{2 - (1 - 2y - y^2)} = \sqrt{1 + 2y + y^2} = |1 + y|$$

由于我们之前假设 $x+y > 0$，即 $1+y > 0$，所以 $|1+y|=1+y$，代入后化简：
$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left(\sqrt{2} + 1 + y\right) + f(1 - 2y - y^2)$$

令 $w = 1 - 2y - y^2$，则 $1 + y = \sqrt{2 - w}$（由 $w=1-2y-y^2$ 变形可得 $2 - w = (1+y)^2$），代入上式得：
$$f(w) = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left(\sqrt{2} + \sqrt{2 - w}\right)$$

步骤3：写出最终解 #

将 $f(c_1)$ 代回通解，同时把 $c_1 = x^2 - 2xy - y^2$ 代入，整理后得到：
$$u = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left(\frac{(\sqrt{2}+1)x + y}{\sqrt{2} + \sqrt{2 - x^2 + 2xy + y^2}}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}}$$

你可以验证这个解满足原偏微分方程和初始条件：

• 对 $u$ 求偏导后代入原方程，会得到左边等于1；
• 当 $x=1$ 时，根号内的 $2 - x^2 + 2xy + y^2 = (1+y)^2$，对数项抵消，结果为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，符合初始条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者So Lo