为何子群的a*b⁻¹∈S定义可推出a,b∈S时a*b∈S？

哈哈，这个问题我刚入门群论的时候也卡过好一会儿，其实就是差了两步关键的小推导，咱们一步步拆解清楚：

首先明确已知条件：

• 设*是群G上的运算，S是G的非空子集
• 子群的判定条件：若a,b∈S，则a*b⁻¹∈S

我们要推导出：当a,b∈S时，a*b∈S，分三步来：

第一步：证明单位元e∈S #

因为S是非空子集，所以至少存在一个元素a∈S。把这个a代入判定条件里的a和b（也就是取a=b），根据条件可得：
a*a⁻¹ ∈ S
而根据群的定义，a*a⁻¹就是群G的单位元e，所以e∈S。

第二步：证明任意a∈S的逆元a⁻¹∈S #

现在我们已经知道e∈S了，把判定条件里的a换成e，b换成a，代入条件可得：
e*a⁻¹ ∈ S
根据群的单位元性质，e*a⁻¹ = a⁻¹，所以a⁻¹∈S，也就是说S里每个元素的逆元都在S中。

第三步：证明a*b∈S（当a,b∈S时） #

现在我们要构造出ab的形式，注意到b = (b⁻¹)⁻¹（逆元的逆元就是自身，群的基本性质）。
因为b∈S，根据第二步的结论，b⁻¹∈S。现在把判定条件里的b换成b⁻¹，也就是取a∈S，b⁻¹∈S，代入判定条件：
a*(b⁻¹)⁻¹ ∈ S
而(b⁻¹)⁻¹ = b，所以左边就是a*b，因此**ab∈S**。

这样就从给定的子群判定条件推导出了乘法封闭性啦，是不是其实就是多绕了“先找单位元、再找逆元”这两步~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者W. G.