不使用部分分式求解∫dx/(x+x²)的方法问询

嘿，这个问题挺有意思的！既然你不想用部分分式分解，那咱们来试试这几个实用的思路：

方法一：换元法（令t = 1 + 1/x） #

先把被积函数整理一下：
∫dx/(x+x²) = ∫dx/[x²(1 + 1/x)]
令t = 1 + 1/x，对t求导得dt = -1/x² dx，也就是-dt = dx/x²。代入积分式：
∫ (-dt)/t = -ln|t| + C
把t代回去再化简：
-ln|1 + 1/x| + C = -ln|(x+1)/x| + C = ln|x/(x+1)| + C

方法二：配方法+平方差积分公式 #

先给分母配方：
x + x² = x² + x = (x + 1/2)² - (1/2)²
这时候可以用积分公式∫1/(u² - a²) du = (1/(2a))ln|(u - a)/(u + a)| + C，这里u = x + 1/2，a = 1/2。代入公式计算：
∫1/[(x+1/2)² - (1/2)²]dx = (1/(2*(1/2)))ln|(x+1/2 - 1/2)/(x+1/2 + 1/2)| + C
化简后直接得到：
ln|x/(x+1)| + C

方法三：变量替换（令x = t/(1-t)） #

选这个替换是为了简化分母。令x = t/(1-t)，先计算分母：
x + x² = t/(1-t) + t²/(1-t)² = [t(1-t) + t²]/(1-t)² = t/(1-t)²
再算dx：
dx = d/dt [t/(1-t)] dt = [1*(1-t) + t]/(1-t)² dt = 1/(1-t)² dt
把x和dx代入积分式：
∫ [1/(1-t)²] / [t/(1-t)²] dt = ∫1/t dt = ln|t| + C
最后把t = x/(1+x)代回去，得到：
ln|x/(1+x)| + C

这几种方法都绕开了部分分式分解，结果和用部分分式得到的完全一致，你可以根据自己的习惯选择~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Trey