求证：包含代数扩张F/k的最小正规扩张为E=∏σ∈S(F/k)σF

给定代数扩张 $F/k$，设 $S(F/k)$ 是 $F$ 在 $k$ 的代数闭包 $k^a$ 中所有 $k$-嵌入构成的集合。咱要证明：包含 $F$ 的 $k$ 的最小正规扩张就是 $E = \prod_{\sigma \in S(F/k)} \sigma F$（这里的 $\prod$ 指的是域的合成）。下面分有限扩张和无限扩张两种情况来梳理：

有限扩张情形的证明 #

有限扩张的情况确实好上手，核心就是利用有限集上单射必为满射这个关键点：

• 先证 $E$ 是 $k$ 的正规扩张
  任取 $E$ 里的元素 $\alpha$，因为 $E$ 是所有 $\sigma F$ 的合成，$\alpha$ 肯定落在某个有限子集 $S' \subset S(F/k)$ 对应的合成 $\prod_{\sigma \in S'} \sigma F$ 里（域合成的元素都是有限个生成元拼出来的）。这个有限合成是有限代数扩张——毕竟 $F/k$ 有限，$k$-嵌入不会改变扩张次数，每个 $\sigma F$ 都是 $k$ 的有限扩张，合成后还是有限的。
  现在看任意 $k$-嵌入 $\tau: E \to k^a$，$\tau$ 作用在 $E$ 上会把每个 $\sigma F$ 映射成 $\tau\sigma F$。由于 $S(F/k)$ 是有限集，映射 $\sigma \mapsto \tau\sigma$ 是 $S(F/k)$ 到自身的单射：要是 $\tau\sigma_1 = \tau\sigma_2$，两边复合 $\tau$ 的逆（$\tau$ 是嵌入，作为单射可逆）就能得到 $\sigma_1 = \sigma_2$。有限集上的单射必然是满射，所以 $\tau$ 会把 $S(F/k)$ 里的元素全遍历一遍，那 $\tau(E) = \prod_{\sigma \in S(F/k)} \tau\sigma F = \prod_{\sigma' \in S(F/k)} \sigma' F = E$。
  这就说明 $E$ 的所有 $k$-嵌入都把它映到自身，按正规扩张的等价定义，$E/k$ 是正规扩张。

• 再证 $E$ 的最小性
  假设 $L$ 是任意一个包含 $F$ 的 $k$-正规扩张。对任意 $\sigma \in S(F/k)$，$\sigma$ 是 $F$ 到 $k^a$ 的 $k$-嵌入，而 $L$ 是正规扩张，所以 $\sigma$ 能延拓成 $L$ 到 $k^a$ 的 $k$-嵌入（正规扩张的性质：所有嵌入都能延拓成自同构，也就是映到自身）。既然 $F \subset L$，那 $\sigma F \subset \sigma L = L$。
  所有 $\sigma F$ 都在 $L$ 里，它们的合成 $E$ 作为包含所有 $\sigma F$ 的最小域，自然也包含在 $L$ 中。所以 $E$ 就是包含 $F$ 的最小 $k$-正规扩张。

无限代数扩张的相关讨论 #

当 $F/k$ 是无限代数扩张时，$S(F/k)$ 可能是无限集，但这个构造依然有效，结论也不变：

• $E$ 仍是正规扩张：任取 $E$ 中的元素 $\alpha$，它一定落在某个有限个 $\sigma_i F$ 的合成 $E_0$ 里。$E_0$ 是有限代数扩张，对它的任意 $k$-嵌入 $\tau$，$\tau(E_0)$ 是 $\tau\sigma_1 F, ..., \tau\sigma_n F$ 的合成，这些 $\tau\sigma_i$ 都属于 $S(F/k)$，所以 $\tau(E_0) \subset E$。而 $E$ 是所有这类有限合成的并集，所以任意 $k$-嵌入 $\tau: E \to k^a$ 都会把每个有限合成 $E_0$ 映到 $E$ 中，从而 $\tau(E) \subset E$，满足正规扩张的条件。
• 最小性依然成立：和有限情形一样，如果 $L$ 是包含 $F$ 的 $k$-正规扩张，每个 $\sigma \in S(F/k)$ 都能延拓成 $L$ 的自同构，所以 $\sigma F \subset L$，所有 $\sigma F$ 的合成 $E$ 必然包含在 $L$ 里，因此 $E$ 是最小的。
• 这里要提一句，无限多个域的合成定义就是包含所有这些域的最小域，这个构造是合理的。无限代数扩张的这个 $E$ 也叫 $F/k$ 的 正规闭包，和有限扩张的正规闭包概念是统一的。

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