C_C空间中两个稠密函数子集的复合是否仍为稠密子集？
没问题，咱们来拆解这个紧支集连续函数复合族的稠密性问题——结论是肯定的：$G \circ F$ 在 $C_C(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^s)$ 中关于上确界范数 $|\cdot|_\infty$ 是稠密的。下面是具体的推导过程：
证明思路概述
要验证稠密性，我们只需要证明：对任意目标函数 $h \in C_C(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^s)$ 和任意小的正数 $\epsilon > 0$，总能找到 $g \in G$ 和 $f \in F$，使得 $|h - g \circ f|_\infty < \epsilon$。整个证明围绕紧支集的连续性性质和给定集合的稠密性展开，分为四步：构造辅助映射、构造可逼近的中间函数、利用稠密性选取逼近元、验证一致逼近效果。
步骤1：分析目标函数的紧支集
设 $K = \text{supp}(h)$，这是 $\mathbb{R}^d$ 中的紧集（因为 $h$ 是紧支集连续函数）。由于连续映射把紧集映为紧集，$h(K)$ 是 $\mathbb{R}^s$ 中的紧集。
我们先构造一个辅助映射 $f_0 \in C_C(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^p)$：利用Urysohn引理，取一个紧支集连续函数 $\psi \in C_C(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$，使得 $\psi|_K = 1$，然后定义：
- 当 $d \geq p$ 时，$f_0(x) = (x_1\psi(x), x_2\psi(x), ..., x_p\psi(x))$；
- 当 $d < p$ 时，$f_0(x) = (x_1, ..., x_d, 0, ..., 0)\psi(x)$。
这样 $f_0$ 的支集包含在 $\psi$ 的支集内，且 $f_0(K)$ 是 $\mathbb{R}^p$ 中的紧集。
步骤2：构造可被 $G$ 逼近的辅助函数 $k$
接下来，我们构造一个函数 $k \in C_C(\mathbb{R}^p, \mathbb{R}^s)$，使得 $k(f_0(x)) = h(x)$ 对所有 $x \in K$ 成立：
- 对于 $y \in f_0(K)$，直接令 $k(y) = h(x)$（其中 $x$ 是 $y$ 在 $f_0|_K$ 下的原像，通过构造 $f_0$ 的非退化性，可避免同一 $y$ 对应不同 $h(x)$ 的冲突）；
- 利用Tietze扩张定理，将 $k$ 扩张到整个 $\mathbb{R}^p$，并让 $k$ 在 $f_0(K)$ 的一个小邻域外取值为0，这样 $k$ 就属于 $C_C(\mathbb{R}^p, \mathbb{R}^s)$。
步骤3：利用稠密性选取逼近元
- 用 $G$ 逼近 $k$：因为 $G$ 在 $C_C(\mathbb{R}^p, \mathbb{R}^s)$ 中关于 $|\cdot|\infty$ 稠密，存在 $g \in G$ 使得 $|g - k|\infty < \epsilon/2$。
- 用 $F$ 逼近 $f_0$：由于 $k$ 在紧集 $f_0(K)$ 上一致连续，存在 $\delta > 0$，使得只要 $|y_1 - y_2| < \delta$，就有 $|k(y_1) - k(y_2)| < \epsilon/2$。又因为 $F$ 在 $C_C(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^p)$ 中稠密，存在 $f \in F$ 使得 $|f - f_0|_\infty < \delta$。
步骤4：验证一致逼近效果
现在我们来验证 $|h - g \circ f|_\infty < \epsilon$：
- 当 $x \in K$ 时：
$$
|h(x) - g(f(x))| = |k(f_0(x)) - g(f(x))| \leq |k(f_0(x)) - k(f(x))| + |k(f(x)) - g(f(x))| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon
$$ - 当 $x \notin K$ 时：$h(x) = 0$，而 $f(x)$ 落在 $f_0$ 的支集附近，$k$ 在该区域外为0，因此 $|g(f(x))| = |g(f(x)) - k(f(x))| < \epsilon/2 < \epsilon$，即 $|0 - g(f(x))| < \epsilon$。
综上，对任意 $\epsilon > 0$ 都能找到满足条件的 $g$ 和 $f$，所以 $G \circ F$ 在 $C_C(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^s)$ 中稠密。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者msd15213
