分析学：能否通过选取分划P证明有界黎曼可积函数在某点连续？

首先直接给你答案：完全可以通过选取合适的分划$P$来证明$f$在$[a,b]$上至少存在一个连续点，下面我一步步拆解这个证明过程，帮你理清逻辑：

第一步：利用可积性找到「小振幅」区间 #

已知$f$在$[a,b]$上关于递增函数$\alpha$黎曼可积，根据可积的充要条件：对任意$\epsilon>0$，存在分划$P={a=x_0<x_1<...<x_n=b}$，使得
$$U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha)=\sum_{k=1}^n (M_k - m_k)\Delta\alpha_k < \epsilon$$
其中$M_k=\sup_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x)$，$m_k=\inf_{x\in[x_{k-1},x_k]}f(x)$，$\Delta\alpha_k=\alpha(x_k)-\alpha(x_{k-1})\geq0$（因为$\alpha$递增）。

我们排除$\alpha(b)=\alpha(a)$的平凡情况（此时积分恒为0，$f$任意点都可视为连续），考虑$\alpha(b)>\alpha(a)$：
假设所有小区间的振幅$\omega_k=M_k-m_k$都满足$\omega_k\geq \frac{\epsilon}{\alpha(b)-\alpha(a)}$，那么求和会得到：
$$\sum_{k=1}^n (M_k - m_k)\Delta\alpha_k \geq \frac{\epsilon}{\alpha(b)-\alpha(a)}\sum_{k=1}^n \Delta\alpha_k = \epsilon$$
这和可积性的条件矛盾！因此必然存在至少一个小区间$I_1=[x_{i-1},x_i]$，使得它的振幅$\omega(f,I_1)<\frac{\epsilon}{\alpha(b)-\alpha(a)}$——我们找到了第一个「振幅足够小」的区间。

第二步：用区间套定理锁定连续点 #

现在对这个小区间$I_1$重复上述操作：

• 取$\epsilon_1=1$，找到$I_1\subset[a,b]$，$\omega(f,I_1)<1$；
• 取$\epsilon_2=\frac{1}{2}$，对$I_1$做分划，找到子区间$I_2\subset I_1$，$\omega(f,I_2)<\frac{1}{2}$；
• 以此类推，对每个$n\in\mathbb{N}^+$，取$\epsilon_n=\frac{1}{n}$，得到闭区间套${I_n}$，满足$I_1\supset I_2\supset I_3\supset...$，且$\omega(f,I_n)<\frac{1}{n}$。

根据闭区间套定理，存在唯一的点$x_0\in\bigcap_{n=1}^\infty I_n$，接下来证明$f$在$x_0$处连续：
任给$\eta>0$，取$n$使得$\frac{1}{n}<\eta$，此时$I_n$的振幅小于$\eta$。取$\delta$为$x_0$到$I_n$两个端点的最小距离（即$\delta=\min{x_0 - \inf I_n, \sup I_n - x_0}$），那么当$|x-x_0|<\delta$时，$x\in I_n$，因此：
$$|f(x)-f(x_0)|\leq \sup_{u,v\in I_n}|f(u)-f(v)|=\omega(f,I_n)<\frac{1}{n}<\eta$$
这完全符合连续的定义，所以$f$在$x_0$处连续。

扩展：证明连续点集在$[a,b]$中稠密 #

要证明连续点集$D$稠密，只需要说明：对任意开区间$(c,d)\subset[a,b]$，$(c,d)$内都存在$f$的连续点。
做法很简单：把上面的证明过程限制在$[c,d]$上（$f$在$[c,d]$上依然关于$\alpha$可积），重复第一步和第二步，就能在$[c,d]$内找到一个连续点。这就说明$D$在$[a,b]$中稠密。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dominated Convergence Theorem