求证：若$u\in L^\infty (\mathbb R^d)$且a>0，$\|u^a\|_{L^\infty}$是否等于$\|u\|_{L^\infty}^a$？

你的初步判断完全正确！当$a>0$且$u\in L^{\infty(\mathbb{R}}d)$时，这个等式确实成立，我们可以通过$L^\infty$范数的定义严谨推导确认：

首先回忆$L^\infty$范数的核心定义：

$|u|_{L^{\infty(\mathbb{R}}d)} = \inf\left{ M \geq 0 \mid |u(x)| \leq M \text{ 对几乎所有 } x \in \mathbb{R}^d \text{ 成立} \right}$

记$\ell = |u|_{L^{\infty(\mathbb{R}}d)}$，我们分两步证明等式：

第一步：证明$|u^a|_{L\infty} \leq \ell^a$ #

因为$\ell$是$|u(x)|$的几乎处处上界（且是最小的那个），所以对几乎所有$x\in\mathbb{R}^d$，有$|u(x)| \leq \ell$。
由于$a>0$，函数$f(t)=t^a$在$t\geq0$时是单调递增的，因此对几乎所有$x$，有：
$$|u^a(x)| = |u(x)|^a \leq \ell^a$$
这说明$\ell^a$是$|ua(x)|$的一个几乎处处上界，根据$L^{\infty$范数是最小上界的定义，可得$|u}a|_{L^\infty} \leq \ell^a$。

第二步：证明$|u^a|_{L\infty} \geq \ell^a$ #

设$M = |u^a|_{L\infty}$，根据定义，对几乎所有$x\in\mathbb{R}^d$，有$|ua(x)| = |u(x)|^a \leq M$。
同样因为$a>0$，我们可以对不等式两边同时取$1/a$次方（单调递增操作，不改变不等号方向），得到：
$$|u(x)| \leq M^{1/a}$$
这说明$M^{1/a}$是$|u(x)|$的一个几乎处处上界，而$\ell$是所有这类上界中的最小值，因此$\ell \leq M^{1/a}$。
两边再同时取$a$次方，就有$\ell^a \leq M = |u^a|_{L\infty}$。

结合两步的结论，我们得到：
$$|u^a|_{L\infty(\mathbb{R}^d)} = \ell^a = |u|_{L^{\infty(\mathbb{R}}d)}^a$$

额外补充一点：这里$a>0$的条件至关重要，如果$a$为负数，单调递增的性质不再成立，这个等式也就不成立了，但题目中明确$a>0$，所以完全没问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user330587