求证0为可去奇点：全纯函数问题及解题尝试

问题明确 #

给定全纯函数 $f: \mathbb{D}^* \rightarrow \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$，其中 $\mathbb{D}^* = { z \mid |z| < 1 } \setminus {0}$，需要证明0是$f$的可去奇点。

我打算用反证法来推进，分两步排除0是极点和本性奇点的可能，剩下的就只能是可去奇点了：

第一步：证明0不可能是极点 #

假设0是$f$的极点，根据极点的定义，存在正整数$m$和在$\mathbb{D}$上全纯的函数$\phi(z)$（满足$\phi(0) \neq 0$），使得：
$$f(z) = \frac{\phi(z)}{z^m}$$

因为$\phi(z)$在0点全纯且$\phi(0)\neq0$，所以在0的某个小邻域$U \subset \mathbb{D}$内，$\phi(z)$不会取0值，且$\phi(z)$的取值落在$\phi(0)$的一个小邻域里——也就是说，$\phi(z)$的辐角会稳定在$\arg\phi(0)$附近。

现在看$f(z)$的辐角：$\arg f(z) = \arg\phi(z) - m\cdot\arg z$。当$z$在$U\setminus{0}$内绕0点转一圈时，$\arg z$会从0变化到$2\pi$，对应的$\arg f(z)$就会减少$2m\pi$。这意味着，$f(z)$的辐角必然会覆盖到$0$（模$2\pi$），也就是$f(z)$一定会取到非负实轴$[0,\infty)$上的值，但这和$f$的值域是$\mathbb{C}\setminus[0,\infty)$矛盾。

所以0不可能是极点。

第二步：证明0不可能是本性奇点 #

假设0是$f$的本性奇点，我们可以用Picard小定理来推导矛盾：Picard小定理指出，全纯函数在本性奇点的任意邻域内，会取到所有复数，最多只有一个例外值。

但这里$f(z)$的值域直接排除了整个非负实轴$[0,\infty)$，这是无穷多个点，显然和Picard小定理的结论冲突。退一步说，就算用更基础的Casorati-Weierstrass定理：本性奇点的邻域内，函数值在复平面上是稠密的——也就是说，对于任意$w \in [0,\infty)$，我们总能找到$z$趋近于0时，$f(z)$无限接近$w$，但$f(z)$永远不能落在$[0,\infty)$里，这也和稠密性矛盾。

所以0也不可能是本性奇点。

既然0既不是极点也不是本性奇点，根据全纯函数奇点的分类，它只能是可去奇点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者RanSch