求证除环上矩阵环的左模是Noetherian模当且仅当它是Artinian模

你一开始的思路其实已经抓住了核心的几个关键点，咱们把这些线索串起来，用初等的方法完成这个证明：

先铺垫几个基础结论 #

• 除环D本身既是Noetherian环也是Artinian环：因为D的左理想只有{0}和D本身，不管是升链还是降链，最多两步就终止了，完全满足Noetherian/Artinian环的定义。
• 矩阵环$M_n(D)$同时是Noetherian环和Artinian环：我们可以用有限维向量空间的子空间性质来理解——$M_n(D)$的左理想和D上n维左向量空间$D^{n$的子空间是一一对应的（你可以这样验证：每个左理想I对应$D}n$中所有能作为I中矩阵第一列的向量构成的子空间V；反过来，每个子空间V对应所有列向量都属于V的矩阵集合，这个集合是左理想）。而有限维向量空间的子空间升链/降链必然终止，所以$M_n(D)$的左理想升链/降链也必然终止，因此它既是Noetherian也是Artinian环。

证明：M是Noetherian模 ⇨ M是Artinian模 #

1. 因为$M_n(D)$是Noetherian环，而Noetherian环上的左模是Noetherian模当且仅当它是有限生成模（这是Noetherian环的经典性质，初等证明也很直接：假设模M不是有限生成，那可以不断取生成元构造无限严格上升的子模链，和Noetherian模的定义矛盾）。
2. 又因为$M_n(D)$是Artinian环，而Artinian环上的有限生成左模一定是Artinian模：假设M是有限生成Artinian环上的模，那么M可以表示为有限个循环模的商模的直和，而Artinian环的循环模是Artinian的（因为循环模是环的商，Artinian环的商环还是Artinian环，其正则模是Artinian的），有限个Artinian模的直和也是Artinian的。
3. 综上，Noetherian模M是有限生成的，进而是Artinian模。

证明：M是Artinian模 ⇨ M是Noetherian模 #

1. 首先，Artinian环上的Artinian左模一定是有限生成模：用初等方法也能证——在Artinian模M中，考虑所有有限生成子模的集合，因为M是Artinian的，这个集合中存在极小元N（降链条件保证）。如果N≠M，取$x∈M\N$，那么$N + M_n(D)x$是比N更大的有限生成子模，和N是极小元矛盾，所以N=M，即M有限生成。
2. 而$M_n(D)$是Noetherian环，Noetherian环上的有限生成左模一定是Noetherian模：和之前类似，有限生成模是循环模的直和的商，Noetherian环的循环模是Noetherian的，有限个Noetherian模的直和也是Noetherian的，商模也保持Noetherian性质。
3. 综上，Artinian模M是有限生成的，进而是Noetherian模。

这样两个方向就都证明完了，整个过程都是用基础的环和模的定义、Noetherian/Artinian环的性质来推导，没有用到太复杂的同调工具，应该符合你想要的初等方法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SEWillB