关于论证函数f₁与f₂不可微的技术咨询

一、为什么 $\dfrac{df_1(x)}{dx}$ 不存在？ #

咱们先拆解$f_1$的情况：它的定义域$C_1 = {x \in \mathbb{R}| x = 1}$是实数轴上的一个单点。而导数的定义是：
$$\dfrac{df_1(x)}{dx} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f_1(x+h) - f_1(x)}{h}$$
这里的核心问题是：导数定义要求$x+h$必须落在函数的定义域内（至少在$h$趋于0的过程中，存在非零的$h$使得$x+h$在定义域）。但对于$x=1$，只要$h≠0$，$1+h$就不在$C_1$里，$f_1(1+h)$根本没有定义，连分式的分子都无法构成。

再往深一点说，可微性的前提是函数在$x$的某个去心邻域内有定义——单点集没有这样的邻域，连导数定义的“入场资格”都不满足，自然不存在导数。

二、为什么 $\nabla_x f_2(x)$ 不存在？ #

再看$f_2$的情况，它的定义域$C_2$是二维平面上的线段：$x_2 = 1 - x_1$且$x_1,x_2\geq0$，也就是连接$(0,1)$和$(1,0)$的线段。多元函数可微（梯度存在）的定义是：存在一个线性映射$\nabla f_2(x)$，使得
$$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{|f_2(x+h) - f_2(x) - \nabla f_2(x) \cdot h|}{|h|} = 0$$
这里的关键矛盾在于：

1. 定义域不是开集，没有内点：$\mathbb{R}^2$中，$C_2$上的所有点都是边界点，不存在任何一个以$x$为中心的小圆盘完全包含在$C_2$里。这意味着大部分方向的$h$都会让$x+h$跑出定义域，$f_2(x+h)$无定义，根本没法代入极限式计算。
2. 用极限不存在论证的思路：假设存在这样的梯度$\nabla f_2(x)=(a,b)$，咱们取两种不同方向的$h$：
   • 第一种是沿着线段$C_2$的方向，比如$h=(-t,t)$（$t→0$，且保证$x+h$在线段上），这时候极限会退化成一元函数的导数，能得到一个关于$a,b$的关系式；
   • 但如果尝试取垂直于线段的$h$，比如$h=(t,0)$（$t→0$），这时候$x+h=(x_1+t,x_2)$，显然不满足$x_2=1-(x_1+t)$，所以$x+h$不在$C_2$里，$f_2(x+h)$无定义，极限式根本无法成立。

本质上，多元函数的梯度（全微分）是针对定义域内的内点定义的，而$C_2$是一维的曲线，在二维空间里没有内点，所以梯度的定义本身就不适用，自然不存在$\nabla_x f_2(x)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Olórin