如何不通过积分证明∑_{k=-∞}^{+∞}(-1)^k/(αk+β)=π/(αsin(βπ/α))？

嘿，我来给你几个不用积分的证明思路提示，说不定能帮你打开思路：

• 借助经典三角级数展开式
  我们已经知道$\frac{1}{\sin z}$有一个标准级数展开：
  $$\frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z} + 2\sum_{n=1}^{{\infty}\frac{(-1)}n z}{z^2 - n^2\pi2}$$
  你可以先对目标级数做变量替换，令$z = \frac{\beta\pi}{\alpha}$，接着把原级数拆分为$k=0$的单独项，以及$k>0$和$k<0$的部分，将$k<0$的部分通过索引替换（比如令$m=-k$）和$k>0$的部分合并，再把变形后的式子和上面的$\frac{1}{\sin z}$展开式对应起来，最后做代数整理就能得到目标等式。

• 构造周期函数并利用解析唯一性
  先定义函数$f(x) = \sum_{k=-\infty}^{{+\infty}\frac{(-1)}k}{\alpha k + x}$，先推导它的周期性：计算$f(x+\alpha)$，你会发现通过索引替换（令$m=k+1$），$f(x+\alpha) = -f(x)$，这意味着$f(x)$的周期是$2\alpha$。
  接下来，你可以对比$f(x)$和$\frac{\pi}{\alpha \sin\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right)}$的性质：两者的极点位置完全一致，极点处的留数也对应相等，而且当$|x|$趋向无穷时，两者的增长行为也相同。根据复分析中解析函数的唯一性定理（两个在复平面上除极点外解析的函数，如果极点和留数都匹配，且增长行为一致，那么它们是同一个函数），就能推出$f(x) = \frac{\pi}{\alpha \sin\left(\frac{\pi x}{\alpha}\right)}$，代入$x=\beta$就得到目标等式。

• 先证特殊情况再推广
  先考虑$\alpha=1$的简化情况：证明$\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{(-1)^{k}{k+\beta}=\frac{\pi}{\sin(\beta\pi)}$。这个经典结果可以通过代数变形推导：把级数拆成正项和负项，将负项索引替换后和正项合并，再结合$\sum_{n=0}}\infty (-1)^n \left(\frac{1}{n+\beta} + \frac{1}{n+1-\beta}\right)$的形式，利用已知的分式拆分和级数求和规律得到结果。之后只要做变量替换$x=\frac{\beta}{\alpha}$，把原级数转化为$\frac{1}{\alpha}\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{(-1)^k}{k + x}$，就能直接推广到一般情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Atmos