判定级数∑cos(πk/2)[k/(k+1000)]/√k（k=1到n）的敛散性

嘿，我来帮你理清楚这个级数收敛的问题～先纠正一个小细节哈：你提到的“当n取1,2,3,4…时，级数∑（从k=1到n）”其实是部分和，它本身是有限项的加总，肯定有确定的数值，不存在收敛与否的问题。你应该是想问无穷级数∑（k=1到∞）cos(πk/2)·[k/(k+1000)]/√k是否收敛对吧？接下来咱们一步步拆解：

cos(πk/2)是周期为4的函数，它的取值非常有规律：

• 当k是奇数时（k=1,3,5...），cos(πk/2)=0，这部分项直接消失；
• 当k是偶数时（k=2,4,6...），cos(πk/2)=cos(mπ)=(-1)^m（这里令k=2m，m从1开始取正整数）。

所以原级数可以直接简化为只保留偶数项的形式：
∑（m=1到∞）(-1)^m · [2m/(2m+1000)] / √(2m)
再把分式化简一下，2m/(2m+1000)=m/(m+500)，√(2m)=√2·√m，最终通项变成：
(-1)^m · [m/(m+500)] / (√2·√m)

把m/(m+500)拆成1 - 500/(m+500)，这样通项就能拆成两部分：

(-1)^m/(√2·√m) - (-1)^m·500/(√2·√m·(m+500))

原级数也就拆成了两个交错级数的差：S = S1 - S2，其中：

• S1 = (1/√2)∑（m=1到∞）(-1)^m/√m
• S2 = (500/√2)∑（m=1到∞）(-1)^m/(√m(m+500))

• 对于S1：这是标准的交错级数，用莱布尼茨判别法就能判断：
  1. 数列1/√m是单调递减的；
  2. 当m趋近于无穷大时，1/√m的极限是0。
     满足这两个条件，所以S1是收敛的。
• 对于S2：先看它的绝对值级数∑（m=1到∞）1/(√m(m+500))。当m足够大时，√m(m+500)近似于m^(3/2)，而p级数∑1/m^(3/2)（p=3/2>1）是收敛的。用比较判别法就能得出：绝对值级数收敛，所以S2是绝对收敛的，自然也收敛。

因为两个收敛级数的差仍然是收敛的，所以原无穷级数是收敛的。

如果我理解错了，你确实是想问部分和的情况——那不管n取1、2、3…哪个正整数，部分和都是有限项的和，肯定有确定值，不存在收敛问题，收敛是针对无穷级数的概念哦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Student number x